在上小学时，有一位同学和我作过这样一个游戏：他让我随便说出当年的某一月某一日，他不用看日历就能很快、准确地说出这天是星期几。
我拿来了一本日历，与他试验了几次。果然他每次都说得很快也很准。我知道他不可能把一年三百六十五天每天星期几都背下来，所以他的本事引起了我很大的兴趣。
后来我知道了他的计算方法：他心里记住了十二个数字，这十二个数字分别对应于当年的十二个月。要计算当年的某月某日是星期几，只要用那日的日数加上那月所对应的数字，然后除以7，余几就是星期几，恰好除尽就是星期日。
我清楚地记得那年的十二个月所对应的数字依次是
1，4，4，0，2，5，0，3，6，1，4，6
碰巧，1991年的十二个月所对应的数字依次也是这十二个数字。下面就以1991年为例具体地谈一下这种方法。
我们先要把下表中的各数牢牢地记在心里：
| 1991年的月份 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 各月对应的数字 |
1 |
4 |
4 |
0 |
2 |
5 |
0 |
3 |
6 |
1 |
4 |
6 |
例如要计算1991年6月25日是星期几。我们心里想到6月份对应的数字是5，就用25加上5，得到30；再用30除以7，余2，则1991年6月25日是星期二。
再如，要计算1991年9月1日是星期几。9月对应的数字是6，1+6=7，7除以7没有余数，所以1991年9月1日是星期日。
可见，只要心里熟记144025036146这一串数字，就能算出1991年的几月几日是星期几。
144025036146这一串数字是从哪儿来的呢？它们就是分别所对应的月份的上一个月的最后一天的星期数。例如，1991年1月31日是星期四，所以1991年2月份对应的数字就是4。每月1日的星期数，当然是头一天（即上个月的最后一天）的星期数的基础上加上1；以后每过1天，星期数就增加工厂；7天一个周期（即一个星期），所以很容易想通这个方法。
为了找出1992年12个月份所对应的各个数字，也就只需记下1992年每个月份的上一个月的最后一天是星期几。利用年历容易查得下表：
| 1992年的月份 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 各月对应的数字 |
2 |
5 |
6 |
2 |
4 |
0 |
2 |
5 |
1 |
3 |
6 |
1 |
例如要计算1992年8月15日是星期几。我们查到1992年8月份对应的数字是5，15+5=20，20除以7余6，所以1992年8月15日是星期六。
平年每年有365天。365=52×7+1，即：平年每年有52个星期零1天。所以，如果连续两年都是平年，则第二年每月对应的数字就是在第一年对应月份对应的数字的基础上加上1。
闰年的2月有29天。闰年全年365天，是52个星期零两天。从闰年的3月份开始的连续12个月中，每个月对应的数字等于一年前同一月份对应的数字加上2。
例如，1992年是闰年。1992年3月至12月各月对应的数字都等于1991年对应月份的数字加上2。从1992年3月份到1993年2月份才满12个月，所以1993年1月和2月对应的数字也分别等于1992年1月和2月对应的数字加上2（逢7变0，逢8变1）。
1993年是平年。从1993年3月份开始，直到下一个闰年（1996年）的2月份，每个月所对应的数字都等于一年前同一月份所对应的数字加上1。
下表所列的是近几年每个月对应的数字：
| 月
年
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 1991年 |
1 |
4 |
4 |
0 |
2 |
5 |
0 |
3 |
6 |
1 |
4 |
6 |
| 1992年 |
2 |
5 |
6 |
2 |
4 |
0 |
2 |
5 |
1 |
3 |
6 |
1 |
| 1993年 |
4 |
0 |
0 |
3 |
5 |
1 |
3 |
6 |
2 |
4 |
0 |
2 |
| 1994年 |
5 |
1 |
1 |
4 |
6 |
2 |
4 |
0 |
3 |
5 |
1 |
3 |
| 1995年 |
6 |
2 |
2 |
5 |
0 |
3 |
5 |
1 |
4 |
6 |
2 |
4 |
| 1996年 |
0 |
3 |
4 |
0 |
2 |
5 |
0 |
3 |
6 |
1 |
4 |
6 |
| 1997年 |
2 |
5 |
5 |
1 |
3 |
6 |
1 |
4 |
0 |
2 |
5 |
0 |
| 1998年 |
3 |
6 |
6 |
2 |
4 |
0 |
2 |
5 |
1 |
3 |
6 |
1 |
每年记住一串（12个）数字就能心算出全年每一天是星期几，应该说是相当方便的。
有一个古老故事:有五个人和一只猴子在荒上乒搁浅了,它们以摘椰子为生.他们在采了一天的椰子后,沉沉的睡去了.半夜里有一个人醒了,他觉得应该得到自己的那一份,于是他起身把那堆椰子平均分成了五分,最后还多了一个,就把它给了猴子,他把自己的那份藏好后,就接着去睡觉了.一会儿,第二个人也醒了,起了同样的念头.他把剩下的椰子又平均分成了五份,又多了一给给了猴子.在藏好他的那有份后,他也去睡了.接着,第三个,第四个,第五个人都起了同样的念头,都一个一个去分,每次均多一个,并都给了猴子.
第二天早晨醒来,五个人一起把最后剩下的那堆椰子又分成了五份,这次一个都没剩,问他们一共摘了多少个椰子？
这是一个不定方程,有无穷多解,最小的一个是3121.
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对于此题，其实如果把它当成是纯数学的题的，不考虑真实事物，那么还有一个非常特别的解，那就是 -4，至于原因，大家可以自己去想想。
原文出处：http://thinkzone.wlonk.com/MathFun/Triangle.htm
三角形问题一
使用最基础的几何学原理，测定角x的度数，并给出详细的证明过程。
完成这道题，你只能使用最基础的几何学原理，比如三角形的内角总和是180度或者其它一些全等三角形或者相似三角形的一些特性（比如边角边定理等）。你不能使用更高阶的原理，比如sin、cos等等。你可以在本文最下面查看你所能使用的几何学原理。
这里有两个小小的提示：
- 你最好是使用这张更大的图片，或者使用量角器等比例画一张更大的图。
- 要解决本题，你需要更多的辅助直线，同时，不要认为仅仅只是添加或者删除一些直线或者角就能解决此题，更不要认为此题很简单。
三角形问题二
仍然是使用最基础的几何学原理，测定角x的度数，并给出详细的证明过程。这个问题只是上一个问题的变形，相对要容易一些，但是要解出来，也绝非易事。
这里有两个小提示
- 你最好是使用这张更大的图片，或者使用量角器等比例画一张更大的图。
- 要解决本题，你需要更多的辅助直线，同时，不要认为仅仅只是添加或者删除一些直线或者角就能解决此题，更不要认为此题很简单。问题二与问题一的方法并不一样。
I’m So Sorry，我并没有在这里给出答案或者证明方法，看来在你解出这两道题或者发疯之前，你只有努力地思考了。如果你发送邮件给我：pantao.name<@>gmail.com，可能我会给你一个更大的提示（当然是在我感觉我愿意那样做的前提下）如果你觉得你已经解决了这两个问题，你可以将你得到的结果告诉我，以确定你的结果是否正确，当然，最好还是附上你的详细证明过程。证明可以不是很正式的，但是请把每一步都写得很清楚，至少关键的步骤应该写得很清楚，让我知道你的整个解题过程是如何变化的。当然，如果你附送我一张你解题的图表那更好不过了，更能让我相信答案不是你猜出来的。我为这道题添加了一个小的提示、一个稍稍大一点儿的提示和一个更大的提示，但是首先你得自己努力地去思考了。
请不要去网上搜索此题的答案或者解法，受挫后再通过自己的努力解决了困难会让你感觉到更加开心。
我并不是这些问题的创造者，当我看到上面的问题一时，我花了很多个小时去解决它，只到很多天以后我才找到正确的答案并能给出详细的解题步骤。几年之后我再一次来做这一道题，发现自己已经忘记最开始的解法了，我又花了很多个小时才把这个题解出来。问题二同样花了我很多时间才解出来。
到底这道题有多难？很多学生都可以读懂这道题的解法，但是很少有学生是靠自己的努力找到解决方法的，很多人发了邮件给我，但是我猜想至多只有1%或者2%的人没有看我提示就找到解决方法的（大部分是大学教授或者大学生）(还有很多人找到的答案却都是错误的。
这两个问题已经被发表在很多地方，问题二最开始被发表在： Langley, “A Problem”, Mathematical Gazette, 1922.Dr. Gary Gruber说他的老师曾经在 1955 向他展示了第一个问题。
Tom Rike 却说问题一最先被发表在：Harry Schor, The New York State Mathematics Teachers’ Journal, 1974。它还出现在 Eureka (now Crux Mathematicorum), 1976 中第134个问题。
基础几何学原理
在解题时你所能使用的几何学原理。
相交线和交角：两条相交线，对角相等，两个邻角相加为180度。两条平行线与第三条线相交，相对的角相等。
三角形：三角形的内角总和是180度。等腰三角形有两条边相等，且有两个相等角。等边三角形三条边相等，三个角相等。直角三角形有一个九十度的角。两个三角形的形状相似，则它们的对应角相等。
- 边角边：有两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等
- 边边边：三边对应相等的两个三角形全等
- 角边角：两个角和两角夹的边对应相等的三角形全等
- 角角：如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似
有一种怪物出生时就长着M只手和N条腿，它没天夜里都要把自己的的手变成2M-N只，把自己的腿变成2N-M条，如此下去，不管哪天，只要在2M-N及2N-M中有一个成为负数，这只怪物就会死去。现在想问问你，这种怪物在什么情况下会长生不死？
大家都知道，只要2M-N或者2N-M中有任何一人数成负数，怪物才会死，那么一个不死的怪物，必需要满足不管经过多少个日夜夜，2M-N与2N-M这两个数都为不为负，这是本题的关键。
把上面的信息都写成数学式就是2M - N≥ 0 且2N - M ≥ 0。
也就是 M ≥ N/2 且 N ≥ M/2
到这里似乎已经解法已经走到尽头了，那我就换一种解法，看下面的做法：
把手脚数相加：(2M - N) + (2N - M) = M + N，也就是说，它的手脚数会随着日子的增加而改变，可是手脚数之和是不变的一个常数。
再把手脚相减：(2M - N) - (2N - M) = 3(M - N)，这个结果表示手脚数之差是以3位的速度随日子的过去而增大的。
从上面两个结果可以看出，当M不等于N的时候，最终必然有一天，手或者脚的数目会成为负数，因为如果脚的数目如果添加，那手的数目必然要减小；或者说手的数目添加，那脚的数目必然也会减小。但是当M等于N的时候，却能保证手脚数之差为0，也就是手脚数永远相同。
由此我们可知道，当M=N≥0时，这种怪物就能长生不死，用文字表达为：如果这种怪物没手没脚或者有手有脚且手脚数相同，这种怪物就能长生不死。
在这里我们先来看一道很古老的数学题：
今有七个老太婆，
一道动身去罗马。
每人都有七匹骡，
每匹骡子负七袋，
每袋装有七面包，
每个面包有七刀，
每把小刀有七鞘。
所有人物共多少？
我们按最原始的方法来计算一下：先有七个老太婆，骡子就有7^2匹，口袋合计7^3个，面包共有7^4个，小刀有7^5把，鞘子共有7^6只，所以人和物的总数一共是：
7^1+7^2+7^3+7^4+7^5+7^6=137256.
这个方法一定能求出最后的结果，可是我们还有一个简单的方法，那就是使用数列求和公式：
s=a1*((q^n-1)/(q-1))。
这里a1就是首项，q是公比.n是项数，于是：
s=7*(7^6-1)/(7-1)=7*19608=137256。
殊途同归。从这个古老的题目让我们想起来了它的发源地。原来，世界数学发展史上有过一些著名趣题，在我国典籍中早就有所记载。一位著名外国数学家写道：“中国数学与希腊、罗马、印度、中亚细亚以及中世纪欧洲数学之间的关系至今依然研究得很不够。但这种关系确实是存在的，在不少国家的数学书本上问题的内容恰恰与中国原著完全一样。”
例如12世纪印度数学家巴斯卡拉提出的“莲花问题”：
波平如镜一湖面，
半尺高处出红莲，
孤零直立在那里，
狂风把它吹一边。
距根生处两尺远，
试问湖水多深浅？
而公元1世纪成书的我国《九章》早就有同样的题目：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？”意大利的著名数学家斐波纳契（约1170-1250年）写了本《算盘全书》，里面也收集了不少趣题，其中有一则是我们在上文所提到过的七个老太婆一道动身去罗马的趣题。可是早在我国唐代（618-907年）流传的《孙子算经》也记载着：“今有出门望有九隄（即提），隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”两个趣题真是惊人的相似。
类似的例子还可以举出不少，总的说来，中国古代趣题年代要早得多，这充分说明我国确实是数学趣题的最早发源地。
Written on 30 11月 1999
by 魑魅魍魉 under
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