古代元朝时，著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：
“我有一壶酒，携着游春走。
遇店添一倍，逢友饮一斗。
店友经三处，没了壶中酒。
借问此壶中，当原多少酒。”
你们知道朱世杰的酒壶里原来有多少酒吗？
-
页面
分类列表
日志存档
友情链接
我的链接
链接
九九歌
九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中，都有关于九九歌的记载。最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。因为是从“九九八十一”开始，所以取名九九歌。大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”。大约在公元十三、十四世纪，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从“一一如一”起到“九九八十一”止。现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是45句的，通常称为“小九九”；还有一种是81句的，通常称为“大九九”。
关于九九歌，汉代燕人韩婴的《韩诗外传》中记载了这样一段故事：
春秋时期，齐桓公设立招贤馆征集各方面的人才，等了很久，一直没有人来应征。过了一年后才来了一个老百姓，他把九九歌献给齐桓公。齐桓公觉得很可笑，就说：“九九歌也能拿出来表示才学吗？”这个人回答说：“九九歌确实够不上什么才学，但是您如果对我这个只懂得九九歌的老百姓都能重礼相待的话，那么还怕比我高明的人才不会接连而来吗？”齐桓公觉得这话很有道理，就把他接进了招贤馆。果然不到一个月，四面八方的贤士都接踵而至了。
尾巴上的零
1×2×3×4×5×…×1990×1991的乘积末端有几个零？（中间的0不算）
从1一个不漏地乘到1991，这个数字实在太大了，不容易分析。因此，我们先从小处着手来解剖麻雀。先看1×2×3×4×5×6＝720，其末位只有一个0，从而可以看出，在质因数的乘积中，只有2×5的积才会出现一个零。
有人会说，4×25=100，不是出现两个零吗？对！但是4×25=22×52=（2×5）2，可见还是2×5在起作用！
好比生病一样，病原菌已找到，问题就很清楚。另外又容易看到，在一串连续数的乘积中，因子2远比因子5要多，所以主要矛盾取决于5的个数，犹如在一个社团中，男多女少，结成配偶的对数就取决于女方了。
于是我们开始清点1×2×…×1991中含有多少个5的因子，先考虑单个的5，由于1991÷5的商数为398，这个数字就算出来了。
继续清点该连乘积中含有52=25的因子，如法炮制，可立即算出这个数字为79。
再清点53=125及54＝625的因子个数，它们分别有15个和3个。由于能被动整除的数也可以被5整除，所以我们在清点时只计一次，不要重复。
于是我们可以马上判明在这个漫长的连乘积中，其尾巴上一共有
398+79+15+3＝495
个零。顺便讲一句，495这个数倒也有趣，它是一个”再生数”，因为我们把这三个数码经重排后得到的最大三位数与最小三位数相减，还是可以得到495，即954－459=495。
摘自《趣味数学辞典》
连续统假设之迷
（注：文中将阿拉夫零记为alf(0)，阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…）
由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪：
alf(0)+ 1 = alf(0)
alf(0) + n = alf(0)
alf(0) + alf(0) = alf(0)
alf(0) × n = alf(0)
alf(0) × alf(0) = alf(0)
alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破 alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1)
可以证明实数集的基数card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫”家族”一发而不可收：2alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); ……
alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今为能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统之迷：“alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？”
公元1878年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。
公元1900年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的23个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。
公元1938年，奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假设决不会引出矛盾”，意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。1963年，美国数学家柯亨居然证明了：“连续统假设是独立的”，也就是说连续统假设根本不可能被证明。
说“三”的故事
说过了二的故事，我这里再接着说三的故事。《庄子·齐物论》里面有这样一个故事：说是，很久以前有一个十分喜欢养猴子的老头儿，人家都称他为狙公。他用橡子喂猴子。狙公对猴子们说：“今后啊，我早上给你们三升橡子，晚上呢，给你们四升。”猴子们听了之后，个个都嫌少，发起了怒来，吵吵嚷嚷的。老头就想了想，又笑着对猴子说：“别吵了，那么我们就换一下子吧，我早上给你四升，晚上给你三升，这总该满意了吧？”猴子们听了之后，个个高兴得不得了，表示满意。这只是一个寓言故事，后人则以“朝三暮四”或者“狙公分栗”等语言来形容人用诈术欺骗人，但是实质却是不变的。后来经过演变，又比喻了变化多端，反复不常。
与上面这个故事相对应的还有一个也是很好笑的，就是所谓的“三层楼喻”。这个故事说的是有一个人哪，他家里很是有钱，但是呢，愚蠢得不得了。有一次，这个人去另一个富豪家里作客，看到了别人家的三层高楼房，尤其是第三层楼通风宽敞明亮，心里那叫一个羡慕。他有的是钱，所以也决定自己也建一个这样的楼房，于是就叫来了最好的泥木匠就开始兴建了。泥木匠就开始打地基、砌砖头，建造楼房的最下一层，富人见到他们在建最下一层之后，心中特别的生气，责问泥木匠说道：“你们这是在造什么房子？你们怎么这么笨？我要的是最上面的那个第三层，你们给我建这个第一二层有什么用？”
这世界上，任何事物都有其客观规律的存在，不要第一二层，这第三层的 “空中楼阁”怎么能造得出来呢？我们常说路都还不会走就想跑，其实和这个故事蕴含的深刻哲理是一样的，就是要我们做任何事情都要按其规律一步一步的来，要脚踏实地的做任何一件事情，任何一个伟大的人、有成就的人都是从小事情做起的，他们都不怕苦不怕累一步一步的把自己的每一件事情做好，就连孔子也是如此，这里再说“韦编三绝”的故事。
我国春秋战国时代，还没有纸张，文字一般写在竹简（或木板）上，然后用皮绳（韦）把竹简串起来，成一册书，这种书的制作方法就叫做“韦编”。孔子晚年喜爱《周易》，反反复复地钻研，说定要弄懂其中的奥秘，以至于后来串书的牛绳都麿断了多次，但是还是没有满足。孔子这种精神正是说明了，不管你有多么伟大，遇到困难的事情还是得踏踏实实地一步一步的来。后人则把“韦编三绝”作为了奋发攻读刻苦治学的代称。
说到孔子，我还应该再说说“三豕涉河”的故事。孔子有一个学生叫子夏（卜商），有一过到晋国去，路过了卫国，听到有卫国的人在读晋史读道：“晋师伐秦，三豕涉河。”子夏就想，这不对呀，晋师伐秦怎么会有三只猪子渡河呢（古时豕就是猪子的意思）？恐怕是记时间的“已亥”两个字被误写成“三豕”了吧？到晋一问，的确是“晋师已亥涉河。”古代的“三”与“已”、“豕”与“亥”字形特别的相近，很容易辨认错误，后来，人们就用“三豕涉河”来比喻文字传抄或者刊刻等过程中出现的错误。
与三有关的故事还有一个是与我国英雄岳飞有关的，岳飞被秦桧等人诬陷，被关进了监狱，韩世忠不平，就去找秦桧问个究竟，秦桧回答说道：“飞子云与张宪书虽不明，其事体莫须有。”意思就是说“岳飞到底有没有罪，我们不知道，也许是有的吧？”韩世忠气愤的说道：“’莫须有 ‘三字，何以服天下？”虽然岳飞没有罪，但是最后还是因“莫须有”三个字而死，后人就以“三字狱”、“风波狱”等指称无罪被冤。而后人在岳飞墓前用生铁铸了秦桧跪地的铁像，并有一对联为：
青山有幸埋忠骨
白铁无辜铸佞臣
二人同心，其利断金
《易·系辞上传》曾说：”天一地二，天三地四……”，又说”太极生两仪”。”二”在古代哲学家的思维中把它作为”天地”中的地、”阴阳”中的阴，故《说文解字》在解释二时说：”二，地之数也，从耦（通偶）一。”耦一，就是由两个一级全。许慎巧妙地表示了有一然后有二，所以有人认为”二”是宇宙界分的标志，以阴阳为统领的二元论。
《易·系辞上传》还说：”二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。”意思是说，两人同心，犹如利刃可以切断金属，同心人的语言，就像兰花一样芳香，说明同心合力、团结一致的重要。《易·损·六三》爻辞：”三人行，则损一人；一人行，则得其友。”意思是说一个孤单，二人合作，三人意思不易一致，比较复杂。
用二来概括的词不少，如：
二至，指夏至和冬至。
二分，指春分和秋分。
二乘，指佛教中的大乘和小乘。
二雅，指《诗经》中的”大雅”和”小雅”。
二程，指北宋程颢、程颐兄弟。
二篆，指大篆和小篆。
二毛，指头发花白的老人。
二气，指阴阳二气。
二心，指有异心。
二仪，指天地。
二王贴，指王羲之父子的行草书贴。
二王庙，指纪念地冰父子的庙。
《京二赋》，指东汉张衡作东京赋和西京赋。
还有二郎神、巽二郎（风神名，根据八卦巽为风而来）。
在四字成语中，用二的不多，恐怕是拗口的关系 罢。有的就用”两”来代替。如”两面三刀”、”两袖清风”、”两小无猜”、”两全其美”、”两败俱伤”等。
一字师、一字官、一粒谷、一堆谷
数字“一”，含义较广，首先，它表示数的开始，《汉书》曰：“元元本本，数始于一。”所以由一构成的词语，大多有原始、少、小等含义。例如一夫、一苇、一隅、一人、一字千金、一呼百应、一寸光阴一寸金、一着不慎满盘皆输、一言即出驷马难追、一叶障目不见泰山、一失足成千古恨、一波未平一波又成、一文钱难倒英雄汉等不一而足。
其次“一”在中国古代哲学中，它被看作是世界的本原或者是宇宙初萌的象征。《老子》：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”意思是说：“道”产生统一的事物，统一的事物分裂为对立的两个方面，对立的两个方面，相辅相成，产生新的第三者，新的第三者产生千差万别的东西。《易·系辞上》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”易传作者是在讲明《周易》的创作过程，同时在一定程度上反映了古人对宇宙的发展过程的相朴素认识。这里所讲的“太极 ”和老子所讲的“道”，基本上是一致的。东汉许慎作《说文解字》把文字归结为五百四十个部首，以“一”部开始，有元始之意。他对“一”的解释时说“惟初太极，道立于一，造分天地，化成万物”。许慎非常聪明，统“易”、“道”而讲天地造化过程，非常巧妙。“一”后来也用来指对立面的统一，北宋张载《正蒙·太和》：“不有两则无一”，认为如果没有对立面也就没有继往开来体，这就是讲“一分为二”和“合二为一”的哲学道理。
历史上还有很多有趣的与“一”有关的故事，在这里我就讲讲唐朝诗人郑谷的故事和明代三个秀才的故事。
唐朝诗人郑谷住在袁州。诗僧齐已喜欢做诗，一次他带了他写好的诗登门求教。其中有《早梅》诗曰：“前村深雪里，昨夜数枝开。”郑谷看后笑着对他说 “‘数枝’非早也，不若‘一枝’则佳。”齐已感到“一”字之改真有点石成金之妙，不禁跪拜致敬。从此以后，读书人中认为郑谷为齐已的一字之师。
再说明代，科举制度发生过这样的一个故事：有三个秀才，一起到省城里参加乡试（考中者为举人）。开考之前，他们心里总是不踏实，常常想到响当当闻名卓著的前辈文徵明（被誉为吴中四才子之一），参加九次乡试，结果还是没有考取，自己和他相比差之甚远。一日，三人在街上闲逛，见一卜卦摊，第一个秀才说：“我们对前程卜一卦如何？”卜卦者说要一两纹银一卜。第二个秀才家境较富有，说：“一两就一两，我付，就卜我们三人的前程如果？”卜者装模作样，仔细看了三人的面相后突然伸出一根手指，在三人面前晃来晃去。三人同声想问道：“这是什么意思？”卜者说：“天机不可泄漏，过后方知。不准，卜金奉还，任你砸摊子。”说得斩钉截铁。三人无可奈何，只好怏怏而返。第一个秀才说：“是不是他说我们中有一人考中？”第二个秀才说：“那也不一定，他可能说我们中有一人考不中？”第三个秀才恍然大悟道：“啊呀！我们上当了，一两银子给他买酒了！你们想，我们三人参加考试，出现的可能性不过四种：‘一人考中，二人不中’、 ‘一人不中，二人考中’、‘三人一齐中’、‘三人一齐不中’，出现四种中的任何一种，他都可以说卜得正确。”三人参透玄机，不觉哈哈大笑，深感江湖术士骗人弄钱，还得有点鬼机灵劲儿哩。
角谷猜想
“角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实，叫它“冰雹猜想”更形象，也更恰当。
为什么叫它“冰雹猜想”呢？顾名思义，这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。
大家知道，小水滴在高空中受到上升气流的推动，在云层中忽上忽下，越积越大并形成冰，最后突然落下来，变成冰雹。
“冰雹猜想”就有这样的意思，它算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下来，变成一个数字：“1”．
这个数学猜想的通俗说法是这样的：
任意给一个自然数N，如果它是偶数，就将它除以2，即将它变成N/2，如果它是奇数，就将它乘以3再加1，即变成3N+1。
对任意的一个自然数施行这种演算手续，经有限步骤后，最后结果必然是最小的自然数1．
对这个猜想，你不妨任意挑几个数来试一试：
若 N=9，则 9×3＋1=28， 28÷2=14， 14÷2=7， 7×3＋1=22，22÷2=11，11×3＋1=34，
34÷2=17，17×3＋1＝52，52÷2＝26， 26÷2＝13，13×3＋1=40，40÷2=20，20÷2=10，
10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1．
你看，经过19个回合(这叫“路径长度”)，最后变成了“1”．
若 N=120，则 120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3＋1=46，46÷2=23，23×3＋1=70，
70÷2=35，35×3＋1=106，106÷2=53，53×3＋1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，
20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1．
你看，经过20个回合，最后也仍然变成了“1”．
有一点更值得注意，假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它将“一落千丈”，很快地跌落到1．例如：
N=65536=216
则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048
→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．
你看，它的路径长度为16，比9的还要小些。
我们说“1”是变化的最终结果，其实不过是一种方便的说法。严格地讲，应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈。
这一结果如此奇异，是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试，但迄今为止，总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目，已达到1099511627776．
由于数学这门科学的特点，尽管有了如此众多的实例，甚至再试验下去，达到更大的数目，但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明，因此还只能称它为一个猜想。(在我们所查阅的资料中，尚未见到对这一猜想的完整证明。)可想而知，要证明它或推翻它，都是很不容易的，要设法说出它的实质，也似乎是难上加难。
不仅如此，对于“角谷猜想”，人们在研究过程中或作出了改动，或进行了推广，得出的结果同样富有奇趣。比如，对于“角谷猜想”若作如下更动：
任给一个自然数，若它是偶数，则将它除以2；若它是奇数，则将它乘以3再减1．……如此下去，经过有限次步骤运算后，它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：
①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41
→122→61→182→91→272→136→68→34→17．
