有一个古老故事:有五个人和一只猴子在荒上乒搁浅了,它们以摘椰子为生.他们在采了一天的椰子后,沉沉的睡去了.半夜里有一个人醒了,他觉得应该得到自己的那一份,于是他起身把那堆椰子平均分成了五分,最后还多了一个,就把它给了猴子,他把自己的那份藏好后,就接着去睡觉了.一会儿,第二个人也醒了,起了同样的念头.他把剩下的椰子又平均分成了五份,又多了一给给了猴子.在藏好他的那有份后,他也去睡了.接着,第三个,第四个,第五个人都起了同样的念头,都一个一个去分,每次均多一个,并都给了猴子.
第二天早晨醒来,五个人一起把最后剩下的那堆椰子又分成了五份,这次一个都没剩,问他们一共摘了多少个椰子？
这是一个不定方程,有无穷多解,最小的一个是3121.
=======================================
对于此题，其实如果把它当成是纯数学的题的，不考虑真实事物，那么还有一个非常特别的解，那就是 -4，至于原因，大家可以自己去想想。
大花猫是捕鼠能手，每天要抓到不少老鼠。但它在吃老鼠以前，先要叫老鼠列队报数。第一批吃掉报单数的；剩下的老鼠重新报数。第二批，花猫仍吃掉报单数的；第三批也是如此……最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新排队报数。
后来，发生了一件极其有趣的事情。大花猫发现，一连好几天，最后被留下的总是一只机灵的小白鼠。
大花猫就问小白鼠：“你想了什么办法，能每天都留下呢？”
小白鼠说：“尊敬的大花猫先生，每天排队前我都先数一数你抓到了多少只老鼠，然后，我站在一个相应的位置，就可以留下来了。”
大花猫听了小白鼠的详细回答，很感叹地说：“没想到，害人的老鼠里居然也有你这样聪明的小白鼠呀！”
小白鼠行了一个礼，恭敬地说：“尊敬的大花猫先生，不瞒您说，我并不是害人的老鼠，我是从科学家的实验室里溜出来玩的，您放我回去，好吗？”
大花猫高兴地放它回去，临别的时候，大花猫还感谢小白鼠给它上了一节生动的数学课呢！
你知道吗，小白鼠每天应站在什么位置才能不被花猫吃掉。
战国时期，齐威王与大将田忌赛马，齐威王和田忌各有三匹好马：上马，中马与下马。比赛分三次进行，每赛马以千金作赌。由于两者的马力相差无几，而齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，所以一般人都以为田忌必输无疑。但是田忌采纳了门客孙膑（著名军事家）的意见，用下马对齐威王的上马，用上马对齐威王的中马，用中马对齐威王的下马，结果田忌以2比1胜齐威王而得千金。这是我国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。
下面有一个两人做的游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0），把两面三刀个人报出的数连加起来，谁报数后使和为88，谁就获胜。如果让你先报数，你第一次应该报几才能一定获胜？
分析：因为每人每次至少报1，最多报8，所以当某人报数之后，另一人必能找到一个数，使此数与某所报的数之和为9。依照规则，谁报数后使和为88，谁就获胜，于是可推知，谁报数后和为79（=88－9），谁就获胜。88=9×9＋7，依次类推，谁报数后使和为16，谁就获胜。进一步，谁先报7，谁就获胜。于是得出先报者的取胜对策为：先报7，以后若对方报K（1≤K≤8），你就报（9－K）。这样，当你报第10个数的时候，就会取得胜利。
古代元朝时，著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：
“我有一壶酒，携着游春走。
遇店添一倍，逢友饮一斗。
店友经三处，没了壶中酒。
借问此壶中，当原多少酒。”
你们知道朱世杰的酒壶里原来有多少酒吗？
会场上人声鼎沸，笑声轰鸣。主持者振臂高呼：“都不要讲话！”懊，他忘掉了自己也在讲。
新刷的黑板上醒目地写着四个大宇：“不准涂画。”咳，那这四个字又是什么呢？
类似的事例，在日常生活中并不少见。细细思量一番，就会觉得其中有些自相矛盾。会场主持人不要大家讲话，自己却在大声讲。新黑板上的留言，显然是告诫人们不要在黑板上乱涂，但好心的留言人自己却违背了这一告诫，在黑板上留下了四个显赫大字。
又如，在某个古老国家的一个偏僻小村庄里，只有一位男性理发师，这位理发师只给本村自己不刮胡子的男子刮胡子；而该村还有一条不成文的规定，即每一位自己不刮胡子的男子，都必须由这位理发师来刮胡子。请问：理发师本人的胡子该由谁来刮？或者说，理发师能给自己刮胡子吗？
假定理发师的胡子可以由自己刮，那么，因为他“只给自己不刮胡子的男子刮胡子”，所以，他便不能给自己刮胡子。如果假定理发师不能给自己刮胡子，那么，因为小村庄里“每一位自己不刮胡子的男子，都必须由理发师刮胡子”，所以，他就必须给自己刮胡子。这样，无论怎样的假设，都将出现矛盾。
以上三例这样自相矛盾的奇谈怪论被称为“悖论”。一门学科如果出现悖论，表明该学科的基础还不够严谨，这时它就会给学术界以危机感并吹响“攻坚”的冲锋号。
东欧有一条普雷格尔河，在离它入海口不远的地方，有一座古老的城市——哥尼斯堡。普雷格尔河的两条支流——旧河和新河在这里汇成一股，然后再奔向蓝色的波罗的海。河心的奈发夫小岛上，矗立着壮丽的哥尼斯堡大教堂。也就是说，整个哥尼斯堡被河水分隔成了4块。不过，交通还是挺方便的，因为在河上横跨着7座建筑风格各异的桥。
一天又一天，这7座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，一个有趣的问题在居民中传开了：一个旅游者在这里逍遥漫步时，能否经过所有这7座桥而每座桥都只经过一次？
这个饶有兴趣的题目，吸引了许多人。活泼好动的孩子，在桥上穿梭往来，不厌其烦地试验他们设想的每一条路线。脚力不济的老人，也在悠闲散步的同时，试验他们的方案。这问题甚至还打动了哥尼斯堡的大学生们，在课余，他们兴趣盎然地探讨各种方案。
可是，把全城人的智慧都加在一起，也没有找出一条合适的路线。哥尼斯堡的“七桥问题”竟成了一道著名的难题。
终于，有一天，在这难题前一筹莫展的哥尼斯堡的大学生们想到了一个人，他们决定写信去请教。就这样，这个难题摆到了彼得堡科学院的欧拉教授面前。
作为一个数学家，欧拉首先是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。七桥问题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题了。
欧拉的这个考虑非常重要，非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——首先把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。单是在这一点上，欧拉就显示出了他超群的数学才能。
接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。这类几何问题和传统的欧几里得几何学不同。它没有量的大小，只有物体间的相对位置和顺序问题。
你看，哥尼斯堡大学生的一封来信，竟导致欧拉开辟了数学中的一个新领域！
也许，我们在了解了这位伟大数学家的生平后，会对他的成就有更深的印象。
瑞士是欧拉的祖国，1707年，他出生在风景秀丽的巴塞尔城。他的父亲老欧拉是一位乡村牧师，也曾是一位数学爱好者。老欧拉希望小欧拉长大后也当牧师，就把他送进了巴塞尔神学校。可小欧拉对神学老师讲的几乎每一个问题都要穷根究底地问一个为什么，被学校认为是一个不够虔诚的学生。不久，他就被神学校开除了。
小欧拉很快就表现出了他的数学天赋。一天，老欧拉决定扩展家里的羊圈，多养点羊。可眼下缺少篱笆，老欧拉发愁了。小欧拉却不慌不忙劝慰起爸爸来：“篱笆是够的。你看，旧羊圈长70码，宽30码，面积2100平方码。如果改成50码见方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平方码。”说穿了，这个发现并不稀奇，可小孩子能敏捷地发现这一点，并不容易。所以，我们就很容易理解：巴塞尔大学竟然同意让13岁的欧拉进校读书。
欧拉在大学里对各门功课都不放松，尤其是数学课，他学习起来如鱼游春水，分外畅快。渐渐地，大学的数学课程满足不了欧拉的胃口了。他的提问往往使老师为难；他还纠正教师讲课中的疏漏。为此，他受到老师约翰·伯努利的赏识，对他进行了重点培养。
当欧拉出色地完成大学的学业，获得数学硕士学位时，仅17岁，这在巴塞尔大学的历史上还是头一个！约翰老师将这个“自己最得意的门生”留在了大学里，担任自己的助教。
1727年，欧拉在朋友的推荐下，被俄国女皇叶卡特琳娜一世聘请为圣彼得堡科学院的院士。在那里，他承担了俄国亟待解决的许多科研课题：测绘地形图、编制天文数据表、拟定度量衡的国家标准；为研制新兵器研究弹道学、为建造新式舰船创建流体力学理论。就连当时大学和中学的数学教科书，也由欧拉编纂。
1741年，俄国的伊丽莎白女皇登基，她藐视科学。欧拉感到在这种环境下无法继续正常的研究工作，于是，他接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，到柏林科学院物理数学所当所长，并为国王的侄女德韶公主讲授数学、天文、物理等课程。在柏林，他一耽就是25年，培养造就了许多数学英才。
1766年，年近花甲的欧拉在俄国女皇叶卡特琳娜二世的再三邀请下，重返阔别了25年的圣彼得堡。前前后后，他任彼得堡科学院的院士达31年之久，以至俄国人视他为本国的数学大师，并以他为自豪。
1783的9月18日下午，76岁的欧拉老人为了庆祝自己计算气球上升定律的成功，在寓所设宴款待一些同行。饭后，欧拉感到有点疲劳，点燃烟斗抽了两口。突然，烟斗从他手中落下，老人口中喃喃自语：“我死了……”
欧拉就这样离开了人世，离开了他热爱的数学事业。他留给后人丰富的科学遗产。从1909年起，瑞士自然科学会就开始筹备出版欧拉全集，计划出72卷，直到现在还没有全部出齐呐。
平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
几何三大问题是：
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出 20°的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
（注：文中将阿拉夫零记为alf(0)，阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…）
由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪：
alf(0)+ 1 = alf(0)
alf(0) + n = alf(0)
alf(0) + alf(0) = alf(0)
alf(0) × n = alf(0)
alf(0) × alf(0) = alf(0)
alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破 alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1)
可以证明实数集的基数card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫”家族”一发而不可收：2alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); ……
alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今为能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统之迷：“alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？”
公元1878年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。
公元1900年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的23个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。
公元1938年，奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假设决不会引出矛盾”，意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。1963年，美国数学家柯亨居然证明了：“连续统假设是独立的”，也就是说连续统假设根本不可能被证明。
