木头数学

平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。

几何三大问题是：

1. 化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆；
2. 三等分任意角；
3. 倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。

三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出 20°的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。

第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。

这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。

圆周率π的近似值是3.1415926……我国古代数学家刘微、祖冲之等在计算圆周率这个问题上有过卓越贡献。要计算圆周率，方法很多，现在来介绍一个完全用不到计算的实验方法。

预备一些粗细均匀的小针，每枚约长2厘米。另外在一张白纸上画出许多平等线，各线间的距离是小针长度的两位。准备好以后，就把小针一支一支地从高处投在纸上，并不断计录小针和任意一条平行线相交的次数。如果投掷的总次数非常之多，那么用投掷总次数除以小针碰线的次数，就得到π的近似值。这是什么道理呢？

首先，我们假定小针与直线最可能相交的次数是k。小针和直线相交时，这个交点一定是在这2厘米长中的一处，任意1毫米都不会比别的更有优越的机会。因此如果针上某段长1毫米，则这一段可能相交的次数是k/20；如果是7毫米，则这一段可能相交的次数便是7k/20。总而言之，最可能相交的次数是与针的长度成正比的。

即使把小针弄成弯曲的形状，这个比值也仍然是对的。譬如说，把针弯折成线头的两段，一段是7毫米，另一段是13毫米，那么，这两面可能相交的次数分别为7k/20与13k/20，加起来仍然为k。我们还可以把针弯曲得更厉害一些，可能相交的次数也不会因此而发生改变。不过投掷弯曲了的小针时，它可能同时在几个地方和直线相交，那是，必须把每一个交点数都计算在内。

我们知道，当正多边形的边数为无限增大时，它的极限是圆。所以“圆”这种图形可以代表弯曲得最厉害的小针。现在假定圆形小针的直径恰好与纸上两条相邻的平行线间的距离相等，那么这个圆形小针投掷下来时，不是和一条直线相交两次，就是和两条直线平行相切。不管怎么样，它的相交次数是2。因此，当投掷的次数为n时，碰线的次数便是2n。

现在小针的长度只有两条相邻平行线间距离的一半，所以针的长度只有上述圆形小针长度（即圆周长）的1/2π。但是可能碰线的次数是与针的长度成正比的，因此小针的可能碰线的次数k就必须满足下面的比例式：

1:(1/2π) = 2n:k，

于是就得到

π=n/k，

也就是

π=投掷总次数/碰线次数。

这就是上面“投针实验”的理论根据。它又叫蒲丰氏实验，在概率论中很出名的，也可以说是近代的“统计试验法”（又叫蒙特卡罗方法“）的滥觞。

据记载，19世纪中叶，瑞士数学工作者服尔夫曾经实地予以试验，他一共投掷了5000次，结果得到π的近似值为3.1596，其它很多学者也做过类似的实验。