有一个古老故事:有五个人和一只猴子在荒上乒搁浅了,它们以摘椰子为生.他们在采了一天的椰子后,沉沉的睡去了.半夜里有一个人醒了,他觉得应该得到自己的那一份,于是他起身把那堆椰子平均分成了五分,最后还多了一个,就把它给了猴子,他把自己的那份藏好后,就接着去睡觉了.一会儿,第二个人也醒了,起了同样的念头.他把剩下的椰子又平均分成了五份,又多了一给给了猴子.在藏好他的那有份后,他也去睡了.接着,第三个,第四个,第五个人都起了同样的念头,都一个一个去分,每次均多一个,并都给了猴子.
第二天早晨醒来,五个人一起把最后剩下的那堆椰子又分成了五份,这次一个都没剩,问他们一共摘了多少个椰子？
这是一个不定方程,有无穷多解,最小的一个是3121.
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对于此题，其实如果把它当成是纯数学的题的，不考虑真实事物，那么还有一个非常特别的解，那就是 -4，至于原因，大家可以自己去想想。
一类属于二元一次方程组的有简捷解法的古老问题是” 鸡兔问题”，它起源于我国古代的一本数学书《孙子算经》（作者孙子的生平不详，大约是公元4世纪的人，不是《孙子兵法》的作者孙武）。《孙子算经》卷下第 三十一题是：”今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？该书给出了解法，最后的答案是：雉二十三，兔一十二”这里的”雉”俗称”野 鸡”，这类题目在我国通常称为”鸡兔问题”，传到日本后，典型的题目变成了”龟鹤同笼”，因此他们对这一类型的题目通称为”龟鹤问题”。
鸡兔问题在我国民间流传很广，在我国的农村或牧区，田地地头或人们休息时，有时会听到有些老年人向青少年提出这样的问题：”鸡免同笼三十九，一百条腿地上走，有多少只鸡？多少只兔？”这种题的正规解法是设鸡为x只，兔为y只，列出一元一次方程组
x+y=39,2x+4y=100
解此二元一次方程组就可以得到答案，应该说解这样的题并不困难。但是，由于它是在田边地头提出来的问题，一般是不用纸笔进行列方程解方程一类的计算，通常是用口算加心算（民间叫做”口碾账”）来求答案的，有时往往用的是简捷巧妙的算法： 以”鸡免同笼三十九，一百条脚地上”为例，有一种口算加心算的推理过程是这样的：如果生只兔子提起前面两条腿，那么每只鸡和兔子都只有两条腿站 在地上，39只鸡和兔在这时应该是78条腿站在地上，比先前的100条腿少了22条，这些腿是兔子们提起来的。由于每只兔子提起来两条腿，现在共提起来 22条腿，所以知道兔子一定是11只，39只鸡和兔中有11只是兔子，这说明其中的鸡一定是28只。
还有其他一些简捷解法，例如若把鸡当成3有4条腿的话，39只鸡和兔此时就会有156条腿，比100条腿多出56条腿，这时因为每只鸡多算了两条腿的缘 故。每只鸡多算两条腿就多出了56条腿，可见鸡是28只，鸡和兔一共是39只，鸡是28只，兔应当是11只。由于是心算，数字小一些算起来方便些，出错的 机会也少些，所以虽然两种算法道理相仿，但后一种解法略比前者繁些。
作为练习，我们可以用上述方法计算《孙子算经》中的那个已经有一千五百多年历史的趣题，算完后请自己核对答案。
第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛时，一位主试委员将鸡免问题改成了一则有趣题，颇有意思，写在下面供参考。
例2．7 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连共采了112个松了，平均每天采14个，问这几天当中有几天有雨？
解1 松鼠妈妈共用了
112÷14=8（天）
如果8天都是晴天，就能采到松子
20×8=160（个），
一个雨天比一个晴天少采松子
20-12=8（个），
现在共少采了
160-112=48（个）
因此雨天有
48÷8=6（天）
解2 松鼠妈妈共用了8天采松子，如果8天都是雨天，只能采到松子
12×8=96（个），
一个晴天比一个雨天要多采松子
20-12=8（个），
现在共多采了
112-96=16（个）
因此晴天有
16÷8=2（天）
雨天有
8-2=6（天）
评说：这里用的就是前面所说的”鸡免问题”的那两个简捷解法，对于参赛的小学生来说，不可能将列方程作为考试要求，因此也不会用列方程解方程的方法写标准答案。
以上问题都是关于一些特殊情况下的二元一次联立方程的简捷解法，我们在前面已经说过，列方程解方程是数学的基本功，是必须牢牢掌握的，简捷解法必须建立在有牢固的基本功的基础上。
一次联立方程在数学中称为”线性方程组”，它的示知数可以是2个、3个、4个或很多个，但每个方程都只能是一次方程，在我国，二千年前成书的《九章算术》 和公元263年由三国时魏国人、我国杰出数学家刘徽对《九章算术》所作的注释中，系统地阐述了解这类方程组的方法，称为”方程术”（兼用”正负术”），这 就是今天的线性代数学中用矩阵的初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵的方法，过了一千几百年，在19世纪初，杰出的德国数学家高斯也发现了这一方法，从那以 后一直到今天，世界各国（包括我国）的书上都称这方法为”高斯消元法”，这其实”高斯消元法”是中国古法（有兴趣的读者请参看1985年第8期《数学通 报》上拙著《线性代数学简史》与1992年第1期《教材通讯》上拙著《高斯消元法是中国古法》）
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601——1665)。
这道题是这样的：当n>2时，x^n+y^n=z^n没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。他的很多成果都是在他死后，由他儿子通过整理他的笔记和批注整理出来的。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。
费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。
杭州市某小学曾举行过一次“数学竞赛”，其中有这样一道题，即计算：
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90.
但是不准通分，并且要求在三分钟内完成计算。据说当时参加比赛的很多小学生都做出来了。
这种题目如果按平常的方法来做也不难，只是计算量大了一点儿，可是详细想想，就不难发现：
1/2 = 1 - 1/2
1/6 = 1/2*3 = 1/2 - 1/3
1/12 = 1/3*4 = 1/3 - 1/4
……
1/90 = 1/9 - 1/10
所以
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90
=(1 - 1/2)+( 1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)……+(1/9 - 1/10)
=1-1/10
=9/10。
问题一：有3个人去投宿,一晚30元，三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板，后来老板说今天优惠只要25 元就够了,拿出5元命令服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了2元，然后,把剩下的3元钱分给了那三个人,每人分到1元。这样，一开始每人掏了10元，现在又退回1元，也就是10-1=9，每人只花了9元钱。3个人每人9元，3 * 9 = 27 元 + 服务生藏起的2元=29元，还有一元钱去了那里？
其实这个问题应该是这么考虑的，首先每个人出了十元钱，所以老板一共拿到了30元钱，而当老板退了5元后，老板就只拿到了25元钱，这时服务员手上就有5元钱，总数还是30元。当服务员给每一个人1元钱后，那么服务员就有2元，而三人每人一元一起就是2元+3*1元+25元=30元。所以钱变还是没有少，而每人出了9元，所以一起出了27元，老板25元，服务员2元。
而对于上面的问题：
3个人每人9元，3 * 9 = 27 元 + 服务生藏起的2元=29元，还有一元钱去了那里？
这里有一个错误之处就在于，服务生的2元钱已经包含于那个27元中了，如果按问题中的算法，那么不应该是少了一元钱，而应该是27+2+3=32元钱，而是多出了2元钱。
问题二：127、415、541、244、334、614、721、___???数字找规律，请问第八组是哪三位数?
不知道有什么规律……
当代大数学家波利雅（Polya）有句名言：“你能一眼看到底吗？”一道难题解决以后，不应该偃旗息鼓不想再前进了。通过认真的分析总结，去芜存菁，咀嚼消化，往往会对原来的题目有更深一层的理解，有时甚至还会找到更好的解法。
古生物学家在找到一些头盖骨或者其他化石时，常常能够据以恢复原有的动物形象，例如恐龙等。
一个好的数学题目，往往蕴藏着拟题者的一片苦心。高明的解题者能够猜到拟题人的思路，提示其真实意图，在这里，题目起了一块化石的作用。下面举一个实例。原问题的提法如下：
如果：
(ac-bb)/(a-2b+0)=(bd-cc)/(b-2c+d)，
则这两个分式都等于
(ad-bc)/(a-b-c+d)。
通过繁复的计算是可以证明结果来的，但是问题的实质了解却是无所裨益。
现在请注意，ac-bb=0是a、b、c三数成等比数列的条件，而a-2b+c=0是 a、b、c三数成等差数列的条件。此外，还可以注意到分子上有ad，分母上对应有a+d；分子上有-bc，分母上对应着-(b+c)。对其它两个式子，这个性质也保持着，例如分子上有-bb，则分母上有-2b等等。
对这类问题，习惯上的解法是引入一个k，即可设
(ac-bb)/(a-2b+c)=k，
于是
(bd-cc)/(b-2c+d)=k，
然后再求证
(ad-bc)/(a-b-c+d)=k。
对上式，一位人工智能研究家找出了好几种解法，但没有一种方法能使他感到满意。后来他注意到第一式
(ac-bb)/(a-2b+c)=k
可以化成
ac-k(a+c)=bb-2bk，
式子的右边启发他要配方，这样一来他就得到
(a-k)(c-k)=(b-k)(b-k)。
这就意味着，原来第一式所表示的真实用意是：(a-k)、(b-k)、(c-k)成等比数列。
于是不难看出，只要换换字母，第二式告诉我们的是：(b-k)、(c-k)、(d-k)成等比数列，因而就有(a-k)、(b-k)、(c-k)、(d-k)成等比数列。
但是我们知道，任一个等比数列的连续四项中，第一项与第四项的乘积必等于第二项与第三项的乘积，故得：
(a-k)(d-k)=(b-k)(c-k)。
把这个式子展开，再去消kk，可得
(b+c-a-d)k=(bc-ad)，
所以
k=(ad-bc)/(a-b-c+d)。
于是解题者猜透了隐藏在出题者心底深处的想法，如果从四个数a、b、c、d中各减去一个常数k，那么，余下的数要成为等比数列，试问a、b、c、d、k应该满足什么条件？
我们得到的教益是：哪里有模式，哪里就有意图
有一种怪物出生时就长着M只手和N条腿，它没天夜里都要把自己的的手变成2M-N只，把自己的腿变成2N-M条，如此下去，不管哪天，只要在2M-N及2N-M中有一个成为负数，这只怪物就会死去。现在想问问你，这种怪物在什么情况下会长生不死？
大家都知道，只要2M-N或者2N-M中有任何一人数成负数，怪物才会死，那么一个不死的怪物，必需要满足不管经过多少个日夜夜，2M-N与2N-M这两个数都为不为负，这是本题的关键。
把上面的信息都写成数学式就是2M - N≥ 0 且2N - M ≥ 0。
也就是 M ≥ N/2 且 N ≥ M/2
到这里似乎已经解法已经走到尽头了，那我就换一种解法，看下面的做法：
把手脚数相加：(2M - N) + (2N - M) = M + N，也就是说，它的手脚数会随着日子的增加而改变，可是手脚数之和是不变的一个常数。
再把手脚相减：(2M - N) - (2N - M) = 3(M - N)，这个结果表示手脚数之差是以3位的速度随日子的过去而增大的。
从上面两个结果可以看出，当M不等于N的时候，最终必然有一天，手或者脚的数目会成为负数，因为如果脚的数目如果添加，那手的数目必然要减小；或者说手的数目添加，那脚的数目必然也会减小。但是当M等于N的时候，却能保证手脚数之差为0，也就是手脚数永远相同。
由此我们可知道，当M=N≥0时，这种怪物就能长生不死，用文字表达为：如果这种怪物没手没脚或者有手有脚且手脚数相同，这种怪物就能长生不死。
