从1一个不漏地乘到1991，这个数字实在太大了，不容易分析。因此，我们先从小处着手来解剖麻雀。先看1×2×3×4×5×6＝720，其末位只有一个0，从而可以看出，在质因数的乘积中，只有2×5的积才会出现一个零。

有人会说，4×25=100，不是出现两个零吗？对！但是4×25=22×52=（2×5）2，可见还是2×5在起作用！

好比生病一样，病原菌已找到，问题就很清楚。另外又容易看到，在一串连续数的乘积中，因子2远比因子5要多，所以主要矛盾取决于5的个数，犹如在一个社团中，男多女少，结成配偶的对数就取决于女方了。

于是我们开始清点1×2×…×1991中含有多少个5的因子，先考虑单个的5，由于1991÷5的商数为398，这个数字就算出来了。

继续清点该连乘积中含有52=25的因子，如法炮制，可立即算出这个数字为79。

再清点53=125及54＝625的因子个数，它们分别有15个和3个。由于能被动整除的数也可以被5整除，所以我们在清点时只计一次，不要重复。

于是我们可以马上判明在这个漫长的连乘积中，其尾巴上一共有

398+79+15+3＝495

个零。顺便讲一句，495这个数倒也有趣，它是一个”再生数”，因为我们把这三个数码经重排后得到的最大三位数与最小三位数相减，还是可以得到495，即954－459=495。

摘自《趣味数学辞典》

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半———即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？

蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。

冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。

几何三大问题是：

1. 化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆；
2. 三等分任意角；
3. 倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。

三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出 20°的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。

第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。

这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。

由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪：

alf(0)+ 1 = alf(0)

alf(0) + n = alf(0)

alf(0) + alf(0) = alf(0)

alf(0) × n = alf(0)

alf(0) × alf(0) = alf(0)

alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破 alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1)

可以证明实数集的基数card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫”家族”一发而不可收：2alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); ……

alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今为能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统之迷：“alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？”

公元1878年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。

公元1900年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的23个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。

公元1938年，奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假设决不会引出矛盾”，意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。1963年，美国数学家柯亨居然证明了：“连续统假设是独立的”，也就是说连续统假设根本不可能被证明。

先来看看此难题原先的形状。10名海盗抢得了窖藏的100块金子，并打算瓜分这些战利品。这是一些讲民主的海盗（当然是他们自己特有的民主），他们的习惯是按下面的方式进行分配：最厉害的一名海盗提出分配方案，然后所有的海盗（包括提出方案者本人）就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案，此方案就获得通过并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里，然后下提名最厉害的海盗又重复上述过程。

所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里，不过，如果让他们选择的话，他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盗都是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理性的。此外，没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。这些金块不能再分，也不允许几名海盗共有金块，因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。

最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢？

为方便起见，我们按照这些海盗的怯懦程度来给他们编号。最怯懦的海盗为1号海盗，次怯懦的海盗为2号海盗，如此类推。这样最厉害的海盗就应当得到最大的编号，而方案的提出就将倒过来从上至下地进行。

分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。游戏结束时，你容易知道何种决策有利而何种决策不利。确定了这一点后，你就可以把它用到倒数第2次决策上，如此类推。如果从游戏的开头出发进行分析，那是走不了多远的。其原因在于，所有的战略决策都是要确定：“如果我这样做，那么下一个人会怎样做？”因此在你以下海盗所做的决定对你来说是重要的，而在你之前的海盗所做的决定并不重要，因为你反正对这些决定也无能为力了。

记住了这一点，就可以知道我们的出发点应当是游戏进行到只剩两名海盗——即1号和2号——的时候。这时最厉害的海盗是2号，而他的最佳分配方案是一目了然的：100块金子全归他一人所有，1号海盗什么也得不到。由于他自己肯定为这个方案投赞成票，这样就占了总数的50%，因此方案获得通过。

现在加上3号海盗。1号海盗知道，如果3号的方案被否决，那么最后将只剩2个海盗，而1号将肯定一无所获——此外，3号也明白1号了解这一形势。因此，只要3号的分配方案给1号一点甜头使他不至于空手而归，那么不论3号提出什么样的分配方案，1号都将投赞成票。因此3号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂1号海盗，这样就有了下面的分配方案：3号海盗分得99块金子，2号海盗一无所获，1号海盗得1块金子。

4号海盗的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3号一样也需再找一人做同党。他可以给同党的最低贿赂是1块金子，而他可以用这块金子来收买2号海盗。因为如果4号被否决而3号得以通过，则2号将一文不名。因此，4号的分配方案应是：99块金子归自己，3号一块也得不到，2号得1 块金子，1号也是一块也得不到。

5号海盗的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗，因此至少得用2块金子来贿赂，才能使自己的方案得到采纳。他的分配方案应该是：98块金子归自己，1块金子给3号，1块金子给1号。

这一分析过程可以照着上述思路继续进行下去。每个分配方案都是唯一确定的，它可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金子，同时又保证该方案肯定能通过。照这一模式进行下去，10号海盗提出的方案将是96块金子归他所有，其他编号为偶数的海盗各得1块金子，而编号为奇数的海盗则什么也得不到。这就解决了10名海盗的分配难题。

Omohundro的贡献是他把这一问题扩大到有500名海盗的情形，即500名海盗瓜分100块金子。显然，类似的规律依然成立——至少是在一定范围内成立。事实上，前面所述的规律直到第200号海盗都成立。 200号海盗的方案将是：从1到199号的所有奇数号的海盗都将一无所获，而从2到198号的所有偶数号海盗将各得1块金子，剩下的1块金子归200号海盗自己所有。

乍看起来，这一论证方法到200号之后将不再适用了，因为201号拿不出更多的金子来收买其他海盗。但是即使分不到金子，201号至少还希望自己不会被扔进海里，因此他可以这样分配：给1到199号的所有奇数号海盗每人1块金子，自己一块也不要。

202号海盗同样别无选择，只能一块金子都不要了——他必须把这100块金子全部用来收买100名海盗，而且这100名海盗还必须是那些按照201号方案将一无所获的人。由于这样的海盗有101名，因此202号的方案将不再是唯一的——贿赂方案有101种。

203号海盗必须获得102张赞成票，但他显然没有足够的金子去收买101名同伙。因此，无论提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。不过，尽管203号命中注定死路一条，但并不是说他在游戏进程中不起任何作用。相反，204号现在知道，203号为了能保住性命，就必须避免由他自己来提出分配方案这么一种局面，所以无论204号海盗提出什么样的方案，203号都一定会投赞成票。这样204号海盗总算侥幸拣到一条命：他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及另外100名收买的海盗的赞成票，刚好达到保命所需的50%。获得金子的海盗，必属于根据202号方案肯定将一无所获的那101名海盗之列。

205号海盗的命运又如何呢？他可没有这样走运了。他不能指望203号和204号支持他的方案，因为如果他们投票反对205号方案，就可以幸灾乐祸地看到205号被扔到海里去喂鱼，而他们自己的性命却仍然能够保全。这样，无论205号海盗提出什么方案都必死无疑。206号海盗也是如此—— 他肯定可以得到205号的支持，但这不足以救他一命。类似地，207号海盗需要104张赞成票——除了他收买的100张赞成票以及他自己的1张赞成票之外，他还需3张赞成票才能免于一死。他可以获得205号和206号的支持，但还差一张票却是无论如何也弄不到了，因此207号海盗的命运也是下海喂鱼。

208号又时来运转了。他需要104张赞成票，而205、206、207号都会支持他，加上他自己一票及收买的100票，他得以过关保命。获得他贿赂的必属于那些根据204号方案肯定将一无所获的人（候选人包括2到200号中所有偶数号的海盗、以及201、203、204号）。

现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能过关的海盗（他们的分配方案全都是把金子用来收买100名同伙而自己一点都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里——因此为了保命，他们必会投票支持比他们厉害的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，即其号码等于200加2的某一方幂的海盗。

现在我们来看看哪些海盗是获得贿赂的幸运儿。分配贿赂的方法是不唯一的，其中一种方法是让201号海盗把贿赂分给1到199号的所有奇数编号的海盗，让202号分给2到200号的所有偶数编号的海盗，然后是让204号贿赂奇数编号的海盗，208号贿赂偶数编号的海盗，如此类推，也就是轮流贿赂奇数编号和偶数编号的海盗。

结论是：当500名海盗运用最优策略来瓜分金子时，头44名海盗必死无疑，而456号海盗则给从1到199号中所有奇数编号的海盗每人分 1块金子，问题就解决了。由于这些海盗所实行的那种民主制度，他们的事情就搞成了最厉害的一批海盗多半都是下海喂鱼，不过有时他们也会觉得自己很幸运—— 虽然分不到抢来的金子，但总可以免于一死。只有最怯懦的200名海盗有可能分得一份脏物，而他们之中又只有一半的人能真正得到一块金子，的确是怯懦者继承财富。

21世纪中国数学会怎么样

有些年轻的朋友问我：中国进入21世纪，她的数学会是怎么样？

从事数学研究的人，时常喜欢预测一些命题可能的结果，我们往往有许多猜想，可能正确也可能错误。如果猜想被证明是正确无误，我们往往兴高采烈；如果被指出是错误，我们也不灰心，再提出一些猜测。

数学是中国人专长

如果我要预测的话，我会说：“进入21世纪，中国数学会迅速发展，中华民族会在世界科技舞台上有更多的卓越表现。数学是中国人擅长喜欢的学科，只要社会认识到其重要性，一定自然的会培养出许多人才来。”

在近代有许多老前辈曾为当时中国科学的落后，国力的衰弱而抒发一些见解。有一位在1912年曾任孙中山临时大总统府秘书的年青人——任鸿隽（1886—1961），他在1914年留学美国康奈尔大学，学习理化，感到当时中国的科学落后，联合杨杏佛、秉志、赵元任、胡明复等组织了一个科学社，目的是联合海外学子为中国科学的振兴及开启民智尽点绵力。

在1915年的《科学》创刊号上，任鸿隽作为中国科学社的社长写了一篇题为《论中国无科学之原因》的专题文章。

他认为这原因是：“自秦汉以后，人心梏于时学，其察物也，取其当然而不知其所以然，其择术也，鹜于空虚而引避实际。”

“文人学者多钻研故纸，高谈性理，或者如王阳明先生之格物，独坐一月；颜习 之讲学，专尚三物，即有所得，也和科学知识风马牛不相及。”

“或搞些训诂，为古人作应声虫，书本外的新知识，永远不会发现。”

中国的数学源远流长，从五六千年前结绳记数，发展到夏商时以甲骨记载大数字，以后由于农耕的需要，几何算术的发展不落后于希腊，数学发展到宋元时期，许多成果是领先当代。可是到了明朝八股取士的制度一开，中国的数学就此一落千丈。

中国从什么时候开始落后了

日本数学家三上义夫在他的名著《中国算学之特色》一书写道：“中国之算学，历史甚长，且生于伟大文明系统中，然不能比较丰富发达者，其主因盖在中国算学家，多不以算学为专业，此种意见，或亦非过言。”

他讲的并不错，翻看中国数学史典籍，随便举出一些有名的数学家，比方说唐朝有名的天文历算家一行，他是密教五祖之一，他并不是专门在数学上研究，花在佛学的钻研时间就多过数学。

南宋的大数学家秦九韶，是在当官时发现军事部署、财政管理、建筑工程如果不进行计算会造成“财蠹力伤”，而且计算的失误“差之毫厘，失之千里”，对公私都会造成损害，从而精研数理以便“通神明，顺性命”，并利用它来“经世务”。

1955年，毛子水先生在《中国科学思想》一文中说，中国的科举落后是有以下的五个原因：

（1）政治方面——中国自秦以来，大半时间是天下统一。一个统一的天下，人民就会因袭故常，不想出奇技淫巧以相尚。和欧洲各国分立的时期多，便要出奇制胜相竞争，有竞争就有进步。

（2）社会方面——中国社会是农业社会，人民乐于“日出而作，日入而息，凿井而饮，耕田而食”，所追求的不外是牛羊的肥美，工具也止于精良的犁耙，容易满足现状。而科举的发展则是追求不断的创新，永无知足的时候，所以中国的社会结构，也是不利科学的发展。

（3）考试制度方面——中国的科举考试是士人出身的唯一途径，而考试的范围却没有科学的科目在内，自然打击读书人研究科学的兴趣，即使唐代考试中有明算，但程度浅易。

儒家教育的流弊

最重要的是：整个考试制度是以考经史为主，自然科学在这种情况下，发展当然不理想了。

（4）教育制度方面——西方的学校和专业学会，正是孕育科学的地方，而这些机构在民国以前五六十年是不存在的。

中国古代的学校只教导“修己治人之方”，注重的是道德修养，处世之道，至于研究自然事物的学问，是比不上西方。西方的各种专业学会，更是中国一直没有的东西，所以自然科学不发达。

（5）经济方面——科学的研究是基于两个原因，一是需要，二是人类的好奇心或是求进心。日常生活中有这种那种的需要，我们就会发明这种或那种的东西来满足需要。好奇心则是人人皆有，中国人也不例外，四大发明莫不是源于此。

可是科学研究的精益求精，更要有赖于充裕的经济力量，办学校要钱，研究工作也需要钱。

中国在近代也建立了不少大学，科学的研究工作也付出了不少时间，为什么科学成就还不能胜过日本和印度？原因就在这两个国家兴办大学的时间比我们长，最重要的是当时中国是处于内战连年，外患不断的时期，政府的财政已经入不敷出，对教育的经费自然缺少，中国近百年来，长期处于内忧外患，经济不能健康发展，自然科学研究也就落后了。

难以普及的致命伤

中国数学在这方面落后西方是说得通。可是李约瑟教授（Joseph Needlam）在他的《中国科学技术史·第三卷数学》（Science and Civilization in China, Vol. 3 Mattenmctics）里提出了一个原因：“……（中国）道家人物隐居在山林中的庙宇里，具有明显的浪漫主义因素。他们虽然忙于炼丹炉的工作，但也激发了诗人的灵感。数学家们则似乎十分平凡而讲究实际的人，他们只不过是地方官的属员。他们的写作风格是非常缺乏文采的。和印度的数学知识不同，中国的数学知识很少是用诗写的。无疑，中国的数学家也有像美丽聪明的丽娜瓦蒂（Lilavati）那样的情人，但他不把她写进书中去。”

中国的数学书除了明朝程大位的《算法统宗》有以诗歌的形式写一些数学问题及解法之外，其他的书都是不容易让人读懂，这是难以普及的致命伤。

1980年，陈省身先生在北京大学、南开大学及暨南大学演讲时指出：

“数学不同于音乐或美术。数学的弱点是一般人无法了解。

需要数学的普及化

在这方面数学家所做的通俗化的工作是值得赞扬的，但一般人总与这门学问隔着一段距离，这是不利于发展的。数学是一个有机体，要靠长久不断的发展才能生存，进步一停顿便会死亡。

中国突飞猛进要注意两大问题

……中国的近代数学，发展比日本晚，但中国数学家的工作，有广泛的范围，有杰出的成就，缺点是人数太少。比较起来，美国数学学会的会员人数多达近万人！

要使中国数学突飞猛进，我个人认为，应注意以下二点：

第一，要培养一支年轻的队伍。成员要有抱负、有信心、肯牺牲，不求个人名誉和利益。要超过前人，青出于蓝而胜于蓝。中国数学如在世界取得领导地位，则工作者的名字必然是现在大家所未闻的。

第二，要国家的支持。数学固然不需要大量的设备，但亦需要适当的物质条件，包括图书的充实，研究空间的完善，以及国内和国际交流的扩大。一人所知所能有限，必须和衷共济，一同达成使命。

“我们希望在21世纪看见中国成为数学大国。”

这是老一辈的数学家对中国数学未来的殷切期望。

法国的一代枭雄拿破仑平日对数学喜爱，而且与数学家交游。他说：“数学的发展与至善和国家的繁荣昌盛密切相关。”他建立了培养法国军官工程师的“工艺学校”，并网罗了最好的数学家来当教授。

在100年前创立的美国西点军校，很早就把数学列为学生所必修的基础课程之一。在1834年学校的章程中指出：“所以这样做，正是因为数学的学习能严格地培训学员们把握军事行动的能力与适应性，能使学员们在军事行动中的那种特殊的活力与灵活的快速性互相结合起来，并为学员们进入驰聘于高等军事科学领域而铺平道路。”

事实上，在2500多年前辅佐齐恒公的政治家管仲，就对数学在治国强兵的重要性有深刻的认识。许多人读过他讲的“衣食足，而后知荣辱”（只有在提升老百姓的生活品质之后，使他们丰衣足食，我们才能提高他们的道德品质），在《管子》里的《七法篇》，他说：“刚柔也、轻重也、大小也、实虚也、远近也、多少也，谓之计数。”表示数学现象出现在各处，要办好事，非掌握数据不可。

在《山国轨篇》，他更发挥以下的看法：“田有轨、人有轨、用有轨、乡有轨、人事有轨、币有轨、县有轨、国有轨。不通于轨数而欲为国，不可。”这里，轨是指具体数量标准，要治国必需心中有数，掌握各种轨数。

在《七法篇》中，他还强调：“能治其民矣，而不明于兵之数，犹之不可。……故曰：治民有器，为兵有数。”

我们再回来看拿破仑的话，他说数学的发展与至善是和国家的繁荣昌盛有关。如果国家衰弱、民不聊生，很难发展数学，反过来数学蓬勃发展也能为国家创造财富改善民生。

最好的例子是以现在蓬勃发展的应用数学——运筹学（Operations research）来说。这门数学可以简单地说是用科学的方法来决定在资源不充分的情况下如何最好地设计人及机械的调动安排，并使之最好地运行的一门科学。

早在30年代时苏联列宁格勒大学教授康托洛维奇（Kantorovich 1912—）对生产中提出大量的组织与计划生产性的问题进行了研究。他本身是数学家，也是经济学家，他当时利用创立的非经典数学分析的方法对生产配置、原料的合理利用以及运输计划、播种面积分配等问题给出了数学模型和确定最优解的具体方法。他在1938年创立线性规划，1939年出版的《生产组织与计划中的数学方法》，可以说是最早的运筹学理论著作。

可是当时斯大林不重视这样的工作，一些不学无术的人对康托洛维奇横加批评指摘，他在1941年写的运筹学讲义，要在1959年才获出版。1971年才成为苏联经济计划所成员，1975年与美国库普曼斯共同获得诺贝尔经济学奖金。

数学应用到商业，促成运筹学和管理科学诞生

美国是在1945年由于战争需要军事、经济全面动员，美国数学家独立发现了线性规划，1947年在美国空军管理部的G. B. 丹齐克（G. B. Dantzig 1914—）作出了解决线性规划问题的单纯形法（Simplex Method）。后来他在斯坦福大学任教，许多人跟进在这方面研究，发现很多的生产问题都可化成线性规划问题来解决，这些结果在经济应用中获得成功，每年获得的效益在十亿美元以上。

1984年的美国“数学科学资金来源特别委员会”报告书指出：

“应用丹齐克在1947年的单纯形法的线性规划最优化技术，在各种工商业活动中，从选择轮船队的最佳航线和工厂机器的最优使用，到运输系统的合理调度，都发挥了作用，提高了管理决策的水平。”

以后非线性规划和整数规划的发展，各种解决非线性函数极值问题的有效方法的出现，使应用范围更为扩大，并促成了研究活动十分活跃的运筹学和管理科学的诞生。

上述方法，还有对策论和其他一些理论，均是很有价值的生产工具，可以用到炼油和其他化工生产过程中去，甚至用到服装的设计和生产中去；它们还是管理工具，从制订汽车运行时刻表，到确定军事战术，甚至管理股票市场的活动，都有它们的用武之地。

日本和中国的对比

如果当年苏联的领导能认识到康托洛维奇工作的重要性，能像美国那样广泛普及和使用，为社会产生财富，经济不会垮掉，后来就不会有苏联的瓦解。

在20世纪，中国还不是数学大国，与亚洲的日本排比还是落在后面。

在1988年8月举行的“21世纪中国数学展望”，曾留学美国普林斯顿大学及担任过中国数学研究所所长的北京大学教授程民德（1917—）演讲时谈到中日数学的对比：

有人说，日本发展成经济大国只抓技术研究，少抓基础理论，对基础数学很少顾及。事实究竟如何呢？

中国的洋务运动和日本的明治维新（1868年）都发生在19世纪60年代。在发展工业，采用西方技术上几乎同时。例如1862年日本始造蒸气军舰，而中国的江南造船厂的前身也于1865年在上海设立，相距不过三年。但在对数学的重视和扶植上则差距极大。

日本在1873年基本普及西方数学，而中国则迟至1911年辛亥革命之后。日本数学会成立于1877年，而中国数学会迟至1935年。

日本的东京大学成立于1877年，相应的北京大学到了1912年始成立（其前身京师大学堂成立于1898年）。日本学士院（科学院）成立于1897年，开始设博士学位；中国的北平研究院迟至1928年方成立，至于第一批博士竟到了1983年才正式授予，落后于日本近一世纪。

日本的高木贞治于1898年到德国跟大数学家希尔伯特（D. Hilbert 1862—1943）学代数数论，回国后完成类域论（Class field theory），1920年即成为世界第一流数学家。而中国在民国以前到国外留学研习数学而有科研成就者几无一人。五四运动（1919年）前后才在中国本土设立数学系！

讲到历史，我们可以翻翻曾出使到日本的清朝官员黄遵宪在1878—1895年写的《日本国志》。在他的《邻交志序》说到日本：“中古以还瞻仰中华，出国之车冠盖络绎，上自天时、地理、官制、兵备、暨乎典章制度、语言文字，至于饮食居处之细，好玩游戏之微，无一不取法于大唐。近世以来对结欧美、公使之馆衡宇相望，亦上自天文、地理、官制、兵备、暨乎典章制度，语言文字，至于饮食居处之细，好玩游戏之微，无一不取法于泰西。”

有维新思想的黄遵宪相当持平的比较中日：“持中国与日本较，规模稍有不同。日本无日本学，中古之慕隋唐，举国趋而东；近世之拜欧美，举国又趋而西。……若中国旧习，病在尊大，病在固蔽，非病在不能保守也。”

日本史学家井上清在《日本历史》一书，解释日本和中国接触西方差不多同时，可是走得比中国快的原因：

日本和米索不达米亚、埃及、印度和中国的人类发祥时代比较，落后了二千年到四千年。……

日本人贪婪地学到了朝鲜、中国、印度以及后来的先进文明，就使得日本历史的发展异常迅速。……

日本经常是模仿先进的文明，这件事似乎应以自卑的口气加以叙述。但是吸收先进文明这件事，恰恰证明了日本人的生活能力。

搬过来，消化吸收再创造

我们现在还是要像鲁迅先生几十年前讲的实行“拿来主义”，别人别国有的优点，我们就像日本人那样搬进来，消化吸收再创造。

我们不能再犯以前闭关妄自尊大的毛病，也不该有开关之后惊骇别人的进步而妄自菲薄的自卑心理。就像我年青时写的诗：“幽古伤怀宜断肠，思今图强应加鞭。”要赶上国际水平，就要有奋发的精神，勤奋的培育下一代，并鼓励更多的数学工作者去参予实际生产的问题，而不是埋首于书房作推导的游戏。

单纯理论研究容易使人空乏

这不是指形式的要数学工作者上山下乡去和土地打交道，或是到工厂去磨洋工。而是让他们接触到一些应用部门，以及生产线，服务业，市场经济领导决策等领域所产生的问题，他们就会发现单纯的理论研究，容易使人产生空乏的感觉，只要能扎根于生活，他们就会有不断的课题可供研究，他们的数学生命就不会很快的枯萎了。

在1993年5月，中国数学界老前辈苏步青（1902—）在和华东师范大学张奠宙教授讨论“中国数学现在应该怎么搞”时，谈了自己的看法。

他说：“我现在是‘不在其位，不谋其政’，什么都不管了，只是在那里空想。首先，数学要联系实际，联系中国经济发展的实际。

数学与经济不是没有关系，而是大有关系。现在不少人在搞图论（Graph Theory），如能真的用到上海的交通管理上去，该有多好？

数学应该发展的东西很多，如控制论，系统科学，离散数学等。物理上要求发展一些非线性科学，如孤立子理论等都很重要。

我们过去搞一个计算几何，现在已经落后了。现在工厂里做一个曲面，用计算机模拟一下就搞出来，不用那个解析式的数学模型。你还在搞昆斯（Coons）曲面，贝尔齐（Bézier）曲面，但实际使用的不是这一套，雷诺公司也不用了，他们用的一套叫做应用几何。

基础理论当然要搞，我主张少而精，不能老是跟在人家后面，拾人牙慧。基础数学研究队伍要精干些，保持稳定。现在科学基金很少，连许多杂志都订不起，复旦大学还算好，国家教委拨了22万，别的地方还没有。对一些古典的，没有解决的纯数学问题，让少数人去搞，那里面油水不大，外国人搞的也不多。

基础理论研究怎样与实践相结合的问题很重要，华罗庚先生与王元先生曾经搞过数论在积分计算上的应用。我看蛮好，恐怕应当进一步发展。至于一般的解析数论，和我们的几何一样，也有一个如何发展的问题。”

对于中国数学教育，他是认为：“数学教育不改不行。过去教的数学都是欧几里得式的演绎体系，从公理公设开始，一点点演绎。把数学搞成很难的东西。这样搞法我看不行。因为世界人很多事情不可能由你的假设出发，适合你搞出来的定理。数学应当是很生动很实际的东西。

数学教育发展到今天，使数学不再是那么难学的科目了。并不比物理学、生物学难学。当然，这需要大家努力。”

中国的数学教育需要改革

美国为什么在20世纪50年代之后能保持它的科学实力？关键因素是注重中学前、中学和大学的高质量的科学和数学教学。

早在1945年7月，一份呈送给当时总统杜鲁门的题为《科学：无限广袤的新开发区》的报告，布什博士（Dr. V. Bush）写道：“中学里数学和科学的不良教学很易损害学生的科学才能，这种教学既不能激起学生对科学的兴趣，又不能给学生以良好的指导。

全面改进科学已成为刻不容缓的事，要成为一名第一流科学家，就必须及早取得一个良好的开端，而一个良好的开端意味着在中学里受到良好的科学训练。”

因此，苏步青教授认为数学教育需要改革，不改不行，教材改成生动实际的东西，这见解是正确的。

中国数学在宋元时期曾经有光辉灿烂的历史，到了明清的时候开始衰退，进入20世纪，中国数学落后于世界数学几乎有三百年。

21世纪的中国如果要成为一个醒狮——而不是睡狮欢腾在国际舞台上。它的数学就必须赶上世界水平，这就是陈省身先生于1988年在南开大学讲的：“……要求中国数学的平等和独立。”

数学教育改革，决策重视数学方法，灵活地把数学和高技术相接合，就会迎来一个姹紫嫣红的中国数学的春天！

约翰逊先生:”瞧,炙一片肉的两面需要20分钟,因为每一面需要10分钟.我可以同时炙两片,所以花20分钟就可以炙完两片.再花20分钟炙第三片,全部炙完需要40分钟.”

贝特西:”你可以更快些,爸爸.我刚算出你可以节省10分钟.”

啊哈!贝特西小姐想出了什么妙主意?

为了说明贝特西的解法,设肉片为A,B,C.每片肉的两面记为1,2.第一个10分钟炙烤A1,和B1.把B肉片先放到一边.再花10分钟炙烤A2和C1.此时肉片A可以炙完.再花10分钟炙烤B2和C2,仅花30分钟就炙完了三片肉,对吗?

这个简单的组合问题,属于现代数学中称之为运筹学的分枝.这门学科奇妙地向我们揭示了一个事实:如果有一系列操作,并希望再最短时间内完成,统筹安排这些操作的最佳方法并非马上就能一眼看出.初看是最佳的方法,实际上大有改进的余地.在上述问题中,关键在于炙完肉片的第一面后并不一定马上去炙其反面.

提出诸如此类的简单问题,可以采用多种方式.例如,你可以改变炙肉架所能容纳肉片的数目,或改变待炙肉片的数目,或两者都加以改变.另一种生成问题的方式是考虑物体不止有两个面,并且需要以某种方式把所有的面都予以”完成”.例如,某人接到一个任务,把 n 个立方体的每一面都涂抹上红色油漆,但每个步骤只能够做到把 k 个立方体的顶面涂色.

今天,运筹学用于解决事物处理,工业,军事战略等等许多领域的实际问题.即使是像炙肉片这样简单的问题也是有意义的.为了说明这一点,请考虑下列一些变相问题:

琼斯先生和夫人有三件家务事要办.

1.用真空吸尘器清洁一层楼.只有一个真空吸尘器,需要时间30分钟.

2.用割草机修整草地.只用一台割草机,需要时间30分钟.

3.喂婴儿入睡,需要时间30分钟.

他们应该怎样安排这些家务,以求在最短时间内全部完成呢?你看出这个问题与炙肉片问题是同构的吗?假设琼斯先生和夫人同时进行操作,一般人开始往往以为做完这些家务需要60分钟.但是如果一件家务(譬如说用真空吸尘器做清洁工作)分为两个阶段,第二阶段延后进行(像炙肉片问题那样),那么三件家务可以在 3/4的时间内即45分钟内完成.

下面有一个关于准备三片热涂奶油的烤面包问题.这个运筹学问题比较困难.烤面包架是老式的,两边各有一扇翼门,可以同时容纳两片面包,但是只能单面烘烤.如果要烤双面,需要打开翼门,把面包片翻过身来.

将一片面包放入烤面包架需要时间3秒钟,取出来也需要3秒钟,将面包片在烤面包架内翻身又需要3秒钟.这些都需要双手操作,即不能同时进行放,取或把两片面包同时翻身,也不能在放入一片面包,将其翻身或取出的同时把另一片涂抹上奶油.单面烘烤一片面包需要30秒钟,把一片面包涂抹上奶油需要12秒钟.

每片面包仅限于单面涂抹上奶油.未经烘烤不得事先在任何一面涂抹上奶油.单面已经烤过的和涂抹上奶油的面包片可以重新放入烤面包加内继续烘烤其另一面.如果烤面包架一开始就是热的,试问双面烘烤三片面包丙涂抹上奶油最少需要多少时间?

在两分钟内完成上述工作并不太难.然而,如果你领悟到:一片面包在单面烘烤尚未结束的情况下,也可以取出,以后再放回烤面包架内继续烘烤这一面,那么全部烘烤时间就可以缩减至111秒钟.使你想到这一点,统筹安排这些操作使效率达到最高也远非是一件易事.在这方面,尚有无数比此更为复杂的实际问题,需要借助于与计算机和现代图论有关的高度复杂的数学手段.

一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一个表格，其结果表明两个婴儿搞错的情况共有六种。现在假设标签搞乱了后，恰有三个是正确的，只有一个搞错了，问这个问题有多少种不同情况?你是否用列表的方法求解?还是凭灵机一动想出来的?

A B D C
A D C B
A C B D
D B C A
C B A D
B A C D

这个问题许多人都茫然不解，其原因是他们作了下列错误的假设:在四个婴儿中，三个婴儿与其标签相符的情况有许多种。但是你如果用”鸽笼原理”思索一下，情况就一清二楚了。假设有四个鸽笼，一一标出应放物品的名称。若三样物品都放在了正确的位置中，那么第四样物品只有一处可放，自然该处即为那件物品应放的位置，正确的可能只有一种，即所有四样物品都放置恰当这一情况，而不可能有其他更多的情况。一般地，如果 n 件物品，其中已经有 n-1件放对了地方，那么剩下的一件也必定放置在正确的位置上了。

有一个关于三样东西都标签错误的古典问题。一旦领悟到可以把情况的数目缩小为1，这个问题也就迎刃而解了。设在桌子上有三个盖着盖子的盒子，其中一个盒子内有两粒绿豆，第二个盒子内有两粒红豆，另一个盒子内有一粒绿豆和一粒红豆，三个盒子盖子上分别写着”红豆”，”红绿豆”和”绿豆”，但是所有标签都标错了。你能从任意一个盒子内取出一粒豆子后，便能判断出所有盒子内都装着什么豆子吗?

同上面的讨论一样，人们一般总是首先考虑有多少种不同的可能性，但是你如果能够洞悉底蕴，一眼就可以看出只可能有一种情况，从误标为”红绿豆”的盒子中取出一粒豆子，如果不是一粒绿豆就是一粒红豆，若是一粒绿豆，那么盒子里的另一粒也必定是一粒绿豆，那么两粒红豆必定在标着”绿豆”的盒子内，反之，若取出的是一粒红豆，那么另一粒必定也是红豆，两粒绿豆肯定放在标着”红豆”的盒子内，其他一盒内的情况就一清二楚了。可以看出，三个盒子全都误标的情况只可能有如上两种。从标着”红绿豆”的盒子内取出一粒便可以排除一种情况，仅剩下唯一正确的情况。

有时，上述问题也会以稍微复杂的形式出现。在三个盒子中，从任意一个盒子内取出最少的豆子数进行试看，以此来判断三个盒子内各装有什么豆子。唯一的办法是从标着”红绿豆”的盒子中取出一粒豆子试看。也许你能提出一些更加复杂的问题，诸如每个盒子内不只两粒豆子，或者盒子不只三个等等。

其他许多发人深省的难题都与上面的婴儿问题有关，同样也涉及到初等概率论。例如，假设婴儿的标签以随机的方式搞乱，那么四个标签全部正确的概率是多少?全部弄错的概率是多少?至少有一个正确的概率是多少?恰好有一个正确的概率是多少?至少有两个正确的概率是多少?恰好有两个正确的概率是多少?最多有两个正确的概率又是多少?诸如此类，不一而足。

“至少一个”的问题，就一般的形式来说，属于古典趣味数学著作中的问题。这个问题通常如下所述:在一家旅店，由 n 个人在仔细检查自己的帽子。寄存部的粗心女郎没能使寄存牌和帽子做到一一对应，她随便地把寄存牌发了出去，问至少一人取回自己的帽子的概率是多少呢