几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρε ĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。
珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半———即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
几何三大问题是：
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出 20°的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
原文出处：http://thinkzone.wlonk.com/MathFun/Triangle.htm
三角形问题一
使用最基础的几何学原理，测定角x的度数，并给出详细的证明过程。
完成这道题，你只能使用最基础的几何学原理，比如三角形的内角总和是180度或者其它一些全等三角形或者相似三角形的一些特性（比如边角边定理等）。你不能使用更高阶的原理，比如sin、cos等等。你可以在本文最下面查看你所能使用的几何学原理。
这里有两个小小的提示：
三角形问题二
仍然是使用最基础的几何学原理，测定角x的度数，并给出详细的证明过程。这个问题只是上一个问题的变形，相对要容易一些，但是要解出来，也绝非易事。
这里有两个小提示
I’m So Sorry，我并没有在这里给出答案或者证明方法，看来在你解出这两道题或者发疯之前，你只有努力地思考了。如果你发送邮件给我：pantao.name<@>gmail.com，可能我会给你一个更大的提示（当然是在我感觉我愿意那样做的前提下）如果你觉得你已经解决了这两个问题，你可以将你得到的结果告诉我，以确定你的结果是否正确，当然，最好还是附上你的详细证明过程。证明可以不是很正式的，但是请把每一步都写得很清楚，至少关键的步骤应该写得很清楚，让我知道你的整个解题过程是如何变化的。当然，如果你附送我一张你解题的图表那更好不过了，更能让我相信答案不是你猜出来的。我为这道题添加了一个小的提示、一个稍稍大一点儿的提示和一个更大的提示，但是首先你得自己努力地去思考了。
请不要去网上搜索此题的答案或者解法，受挫后再通过自己的努力解决了困难会让你感觉到更加开心。
我并不是这些问题的创造者，当我看到上面的问题一时，我花了很多个小时去解决它，只到很多天以后我才找到正确的答案并能给出详细的解题步骤。几年之后我再一次来做这一道题，发现自己已经忘记最开始的解法了，我又花了很多个小时才把这个题解出来。问题二同样花了我很多时间才解出来。
到底这道题有多难？很多学生都可以读懂这道题的解法，但是很少有学生是靠自己的努力找到解决方法的，很多人发了邮件给我，但是我猜想至多只有1%或者2%的人没有看我提示就找到解决方法的（大部分是大学教授或者大学生）(还有很多人找到的答案却都是错误的。
这两个问题已经被发表在很多地方，问题二最开始被发表在： Langley, “A Problem”, Mathematical Gazette, 1922.Dr. Gary Gruber说他的老师曾经在 1955 向他展示了第一个问题。
Tom Rike 却说问题一最先被发表在：Harry Schor, The New York State Mathematics Teachers’ Journal, 1974。它还出现在 Eureka (now Crux Mathematicorum), 1976 中第134个问题。
在解题时你所能使用的几何学原理。
相交线和交角：两条相交线，对角相等，两个邻角相加为180度。两条平行线与第三条线相交，相对的角相等。
三角形：三角形的内角总和是180度。等腰三角形有两条边相等，且有两个相等角。等边三角形三条边相等，三个角相等。直角三角形有一个九十度的角。两个三角形的形状相似，则它们的对应角相等。
是谁先发现圆的直径和圆周成正比的？又是谁先发现贺的面积和直径的平方成正比？这些问题已经无从考评。但重要的是，圆周除以直径的常数是什么？
古代的数学家只要利用绳子，就能求出圆周长是直径长度的三倍有余。测量得再仔细一点，他们就会发现，多出来的零头是介于直径长度的1/8与1/4之间。
关于圆周率的最早记录，是出自公元前1650年，一位名叫亚米斯（Ahmes）的埃及抄写员的手稿：莱因纸 草算经（Rhind Papyrus）。他写道：“取圆直径的8/9，作为正方形的边长，就可得到和圆等面积的正文形。”我们都知道求圆面积的公式：πr^2。如果将8/9的平方当成圆的面积，就可求出古埃及手稿上的π值为256/81，或者3.16049……
圆周率的正确值约为3.141592。亚米斯的圆周率误差还不到1/100，由此可见当时的测量已经很精确了，但历史资料显示，他求出的圆周率并未广为流传。一千年后，巴比伦人和古希伯来人都以3作为圆周率，误差比赖因德古本还大。
莱因纸草算经上的公式，也是有史以来第一个尝试“化圆为方”的公式；也就是画一个和圆等面积的正方形。“化圆为方”不但是最古老的数学问题之一，也是一个历久弥新的问题。
有一只正三角形，它的每边边长是1个单位。现在要画一条直线或者曲线，把它分成两块，进化论什么形状都可以，只是两块面积必须完全相等，并且要求所作的线段或者曲线的长度为最短，你们会画吗？
当然，人人都会想到的就是从三角形的一个顶点向底边作一条垂线就可以把这个正三角形平分为两个面积完全相等的两个三角形了，但是这样所使用的那一条垂线不见得是最短的。如果照这种方法做，那么根据勾股定理可以得知：
AD=(1^2 - (1/2)^2)^(1/2) = (1 - 1/4)^(1/2) = (3^(1/2))/2 ≈ 0.866。
这里还有第二种解法：作一个直角三角形，使它的两条直角边长均为1个单位长，那么斜边长就是2^(1/2)，在下图的BC上截取一线段CF，其长为(2^(1/2))/2。过F作AC的平行线，交AB与D，过D作BC的平行线DE，则DE就是所求的线段。
很明显，这是△ADE，再根据几何定理‘两个相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比’，可得出比例式：
S△ADE/S△ABC = 1/2，
所以DE符合原题的要求，并且
DE = CF = (2^(1/2))/2 ≈ 0.707。
0.707肯定是要比0.866短得多，可是解法不错，却还不是最优解。
前面两种方法都是从直线段的角度来考虑问题，现在改从曲线方面来解。我们先通过旋转与对称的办法，把六个正三角形拼成一个正六边形，并以A为圆心，在正六边形内画一个圆，则曲线弧形成一条封闭曲线，见下图：
根据有名的定理：“在面积为一定的平面图形中，以圆的周长为最短。”这使我们联想到，所要求的曲线弧必定是圆周长的1/6，也就是上图中的弧DE。它的画法和具体数学的计算如下：
因为正三角形的面积等于 (3^(1/2))/4，所以正六边形的面积等于 ((3^(1/2))/4) x 6。
而其面积的一半就是 ((3^(1/2))/4) x3。
设所求圆的半径为R，则有：
π*R*R = ((3^(1/2))/4) x3 ≈ 0.643。
以R（0.643单位长）为半径，A为圆心，即可画出弧DE的近似解。弧DE的长是圆周长的1/6，即 弧DE= (2πR)/6 ≈ 0.673。
可见曲线弧的长度要比前两种直线段解法中的线段都短得多。
七巧板是我国古代劳动人民的创作，有人叫它智慧板。它是用一块正方形的木板或厚纸裁成七块而制成的。用这七块板可以拼成各种形状。清代有一位名叫王其沅的人，编了一本《七巧八分图》，全书共有八册，载了七巧板所拼成的图形与文字达几百幅之多，有日用器具、动植物、人事、风景等，内容非常丰富。外国人把七巧板称做“唐图”，据说是在唐朝时传到欧洲去的（但也有人反对这种说法，认为 “唐”不过是代表中国的意思），现在毫无疑问，在世界各个角落里，七巧板仍在吸引着无数的业余爱好者。
但是，我国民间还有一种与七巧板相类似的东西，它实际上是七巧板在三维空间的推广，知道它的人就比较少了。如下图所示，它一共也有七块。要制造它是一点不难的，只要利用小孩子玩的现成积木，用脱水照下图中的式样粘接起来，晾干后即可应用。
你可以尝试一下，把七专人东西拼成一个3×3×3的立方体，拼法是很多的，这里就不详细写出来了。但是对于初学者来说，一时倒也不容易下手，可以说是一种培养空间想象力的有益练习了。
熟练之后，请你尝试着去拼下图中的六个图形。每一个图形都有27个小立方体，它们全者是由同一套七块构件拼搭起来的。
这个游戏不知道由何人在何时传入欧洲。后来在北欧斯堪的那维亚半岛国家相当流行。他们用塑料或者有机玻璃制成玩具，涂上各种鲜艳的颜色，摆在一只方盒子里，可以随时拿出来玩。
用这七块构件能拼出许多图形，可以同七巧板相媲美。
圆周率π的近似值是3.1415926……我国古代数学家刘微、祖冲之等在计算圆周率这个问题上有过卓越贡献。要计算圆周率，方法很多，现在来介绍一个完全用不到计算的实验方法。
预备一些粗细均匀的小针，每枚约长2厘米。另外在一张白纸上画出许多平等线，各线间的距离是小针长度的两位。准备好以后，就把小针一支一支地从高处投在纸上，并不断计录小针和任意一条平行线相交的次数。如果投掷的总次数非常之多，那么用投掷总次数除以小针碰线的次数，就得到π的近似值。这是什么道理呢？
首先，我们假定小针与直线最可能相交的次数是k。小针和直线相交时，这个交点一定是在这2厘米长中的一处，任意1毫米都不会比别的更有优越的机会。因此如果针上某段长1毫米，则这一段可能相交的次数是k/20；如果是7毫米，则这一段可能相交的次数便是7k/20。总而言之，最可能相交的次数是与针的长度成正比的。
即使把小针弄成弯曲的形状，这个比值也仍然是对的。譬如说，把针弯折成线头的两段，一段是7毫米，另一段是13毫米，那么，这两面可能相交的次数分别为7k/20与13k/20，加起来仍然为k。我们还可以把针弯曲得更厉害一些，可能相交的次数也不会因此而发生改变。不过投掷弯曲了的小针时，它可能同时在几个地方和直线相交，那是，必须把每一个交点数都计算在内。
我们知道，当正多边形的边数为无限增大时，它的极限是圆。所以“圆”这种图形可以代表弯曲得最厉害的小针。现在假定圆形小针的直径恰好与纸上两条相邻的平行线间的距离相等，那么这个圆形小针投掷下来时，不是和一条直线相交两次，就是和两条直线平行相切。不管怎么样，它的相交次数是2。因此，当投掷的次数为n时，碰线的次数便是2n。
现在小针的长度只有两条相邻平行线间距离的一半，所以针的长度只有上述圆形小针长度（即圆周长）的1/2π。但是可能碰线的次数是与针的长度成正比的，因此小针的可能碰线的次数k就必须满足下面的比例式：
1:(1/2π) = 2n:k，
于是就得到
π=n/k，
也就是
π=投掷总次数/碰线次数。
这就是上面“投针实验”的理论根据。它又叫蒲丰氏实验，在概率论中很出名的，也可以说是近代的“统计试验法”（又叫蒙特卡罗方法“）的滥觞。
据记载，19世纪中叶，瑞士数学工作者服尔夫曾经实地予以试验，他一共投掷了5000次，结果得到π的近似值为3.1596，其它很多学者也做过类似的实验。
