木头数学

东欧有一条普雷格尔河，在离它入海口不远的地方，有一座古老的城市——哥尼斯堡。普雷格尔河的两条支流——旧河和新河在这里汇成一股，然后再奔向蓝色的波罗的海。河心的奈发夫小岛上，矗立着壮丽的哥尼斯堡大教堂。也就是说，整个哥尼斯堡被河水分隔成了4块。不过，交通还是挺方便的，因为在河上横跨着7座建筑风格各异的桥。

　　一天又一天，这7座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，一个有趣的问题在居民中传开了：一个旅游者在这里逍遥漫步时，能否经过所有这7座桥而每座桥都只经过一次？

　　这个饶有兴趣的题目，吸引了许多人。活泼好动的孩子，在桥上穿梭往来，不厌其烦地试验他们设想的每一条路线。脚力不济的老人，也在悠闲散步的同时，试验他们的方案。这问题甚至还打动了哥尼斯堡的大学生们，在课余，他们兴趣盎然地探讨各种方案。

　　可是，把全城人的智慧都加在一起，也没有找出一条合适的路线。哥尼斯堡的“七桥问题”竟成了一道著名的难题。

　　终于，有一天，在这难题前一筹莫展的哥尼斯堡的大学生们想到了一个人，他们决定写信去请教。就这样，这个难题摆到了彼得堡科学院的欧拉教授面前。

　　作为一个数学家，欧拉首先是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。七桥问题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题了。

　　欧拉的这个考虑非常重要，非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——首先把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。单是在这一点上，欧拉就显示出了他超群的数学才能。

　　接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！

　　1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。这类几何问题和传统的欧几里得几何学不同。它没有量的大小，只有物体间的相对位置和顺序问题。

　　你看，哥尼斯堡大学生的一封来信，竟导致欧拉开辟了数学中的一个新领域！

　　也许，我们在了解了这位伟大数学家的生平后，会对他的成就有更深的印象。

　　瑞士是欧拉的祖国，1707年，他出生在风景秀丽的巴塞尔城。他的父亲老欧拉是一位乡村牧师，也曾是一位数学爱好者。老欧拉希望小欧拉长大后也当牧师，就把他送进了巴塞尔神学校。可小欧拉对神学老师讲的几乎每一个问题都要穷根究底地问一个为什么，被学校认为是一个不够虔诚的学生。不久，他就被神学校开除了。

　　小欧拉很快就表现出了他的数学天赋。一天，老欧拉决定扩展家里的羊圈，多养点羊。可眼下缺少篱笆，老欧拉发愁了。小欧拉却不慌不忙劝慰起爸爸来：“篱笆是够的。你看，旧羊圈长70码，宽30码，面积2100平方码。如果改成50码见方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平方码。”说穿了，这个发现并不稀奇，可小孩子能敏捷地发现这一点，并不容易。所以，我们就很容易理解：巴塞尔大学竟然同意让13岁的欧拉进校读书。

　　欧拉在大学里对各门功课都不放松，尤其是数学课，他学习起来如鱼游春水，分外畅快。渐渐地，大学的数学课程满足不了欧拉的胃口了。他的提问往往使老师为难；他还纠正教师讲课中的疏漏。为此，他受到老师约翰·伯努利的赏识，对他进行了重点培养。

　　当欧拉出色地完成大学的学业，获得数学硕士学位时，仅17岁，这在巴塞尔大学的历史上还是头一个！约翰老师将这个“自己最得意的门生”留在了大学里，担任自己的助教。

　　1727年，欧拉在朋友的推荐下，被俄国女皇叶卡特琳娜一世聘请为圣彼得堡科学院的院士。在那里，他承担了俄国亟待解决的许多科研课题：测绘地形图、编制天文数据表、拟定度量衡的国家标准；为研制新兵器研究弹道学、为建造新式舰船创建流体力学理论。就连当时大学和中学的数学教科书，也由欧拉编纂。

　　1741年，俄国的伊丽莎白女皇登基，她藐视科学。欧拉感到在这种环境下无法继续正常的研究工作，于是，他接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，到柏林科学院物理数学所当所长，并为国王的侄女德韶公主讲授数学、天文、物理等课程。在柏林，他一耽就是25年，培养造就了许多数学英才。

　　1766年，年近花甲的欧拉在俄国女皇叶卡特琳娜二世的再三邀请下，重返阔别了25年的圣彼得堡。前前后后，他任彼得堡科学院的院士达31年之久，以至俄国人视他为本国的数学大师，并以他为自豪。

　　1783的9月18日下午，76岁的欧拉老人为了庆祝自己计算气球上升定律的成功，在寓所设宴款待一些同行。饭后，欧拉感到有点疲劳，点燃烟斗抽了两口。突然，烟斗从他手中落下，老人口中喃喃自语：“我死了……”

　　欧拉就这样离开了人世，离开了他热爱的数学事业。他留给后人丰富的科学遗产。从1909年起，瑞士自然科学会就开始筹备出版欧拉全集，计划出72卷，直到现在还没有全部出齐呐。

“占地”是一种有许多可变策略的游戏．玩的人数不限．不过，刚学的时候最好先从两个人开始．游戏一般分为三个阶段：

I.构造游戏的区域；

II.在一些或全部区域上指定值；

III.占领区域．

I.每个选手轮流每次各画一个区域，以某种方式邻接在前面已经画过的区域上．每个选手要各画10个区域，像图A那样．

II. 各选手选用不同颜色的铅笔，然后一人一区域地轮流指定数值，直至每人所指定的数总和为100．如果有人希望某区域的指定数为100，那么他就只能拥有这个区域．

III.游戏的目标：游戏终结，拥有最多区域者胜．至于区域内的指定数则不相干．

游戏的运行：一个区域被占领，是指与该区域邻接的区域中有至少一个区域属于另一个选手，而后者区域指定数的和大于该区域的指定数．

一个区域一旦被占领，即退出游戏，而且标上占领者的记号．

继续占领(由选手轮流)，直至没有可占领为止．

“占地”有一些极为引人的变化．玩的次数多了，便会发现许许多多在构造区域、指定数值和占领区域等方面的策略．

话说有100个人很喜欢泡酒吧。这些人在每个周末，都要决定是去酒吧活动还是待在家里休息。酒吧的容量是有限的，也就是说座位是有限的。如果去的人多了，去酒吧的人会感到不舒服。此时，他们留在家中比去酒吧更舒服。

假定酒吧的容量是60人，如果某人预测去酒吧的人数超过60人，他的决定是不去，反之则去。这100人如何作出去还是不去的决定呢？

这个博弈的前提条件做了如下限制：每一个参与者面临的信息只是以前去酒吧的人数，因此，他们只能根据以前的历史数据，归纳出此次行动的策略，没有其它的信息可以参考，他们之间更没有信息交流。

这就是著名的酒吧问题(Bar problem)。它是由美国人阿瑟教授(W.B. Arthur)1994年在《美国经济评论》发表的《归纳论证的有界理性》一文中首次提出来的。

酒吧问题所模拟的情况，非常接近于一个赌博者下注时面临的情景，比如股票选择、足球博彩。这个博弈的每个参与者，都面临着这样一个困惑：如果许多人预测去的人数超过60，而决定不去，那么酒吧的人数会很少，这时候作出的这些预测就错了。

反过来，如果有很大一部分人预测去的人数少于60，他们因而去了酒吧，则去的人会很多，超过了60，此时他们的预测也错了。

因而一个作出正确预测的人应该是，他能知道其他人如何作出预测。但是在这个问题中每个人预测时面临的信息来源都是一样的，即过去的历史，同时每个人无法知道别人如何作出预测，因此所谓正确的预测几乎不可能存在。

阿瑟教授通过真实的人群以及计算机模拟两种实验得到了两个迥异的、有趣的结果。

在对真实人群的实验中，实验对象的预测呈有规律的波浪状形态，实验的部分数据如下：

从上述数据看，虽然不同的博弈者采取了不同的策略，但是其中共同点是这些预测都是用归纳法进行的。我们完全可以把实验的结果看做是现实中大多数理性人作出的选择。

在这个实验中，更多的博弈者是根据上一次其他人作出的选择而作出这一次的预测。

然而，这个预测已经被实验证明在多数情况下是不正确的。那么，在这个层面上说明，这种预测是一个非线性的过程。

所谓这样一个非线性的过程是说，系统的未来情形对初始值有着强烈的敏感性，这就是人们常说的“蝴蝶效应”：在北京的一只蝴蝶动了一下翅膀，华盛顿就下了一场大暴雨。

通过计算机的模拟实验，得出了另一个结果：起初，去酒吧的人数没有一个固定的规律，然而，经过一段时间后，这个系统去与不去的人数之比接近于60： 40，尽管每个人不会固定地属于去或不去的人群，但这个系统的这个比例是不变的。如果把计算机模拟实验当做是更为全面的、客观的情形来看，计算机模拟的结果说明的是更为一般的规律。

生活中有很多例子与这个模型的道理是相通的。“股票买卖”、“交通拥挤”以及“足球博彩”等等问题都是这个模型的延伸。对这一类问题一般称之为“少数人博弈”。“少数人博弈”是改变了形式的酒吧问题，是由一位定居瑞士的中国人张翼成在1997年提出的。

在股票市场上，每个股民都在猜测其他股民的行为而努力与大多数股民不同。如果多数股民处于卖股票的位置，而你处于买的位置，股票价格低，你就是赢家；而当你处于少数的卖股票的位置，多数人想买股票，那么你持有的股票价格将上涨，你将获利。

在实际生活中，股民采取什么样的策略是多种多样的，他们完全根据以往的经验归纳得出自己的策略。在这种情况下，股市博弈也可以用少数者博弈来解释。

“少数人博弈”中还有一个特殊的结论，即：记忆长度长的人未必一定具有优势。因为，如果确实有这样的方法的话，在股票市场上，人们利用计算机存储的大量的股票的历史数据就肯定能够赚到钱了。但是，这样一来，人们将争抢着去购买存储量大、速度快的计算机了，在实际中人们还没有发现这是一个炒股必赢的方法。

“少数人博弈”还可以应用于城市交通。现代城市越来越大，道路越来越多、越来越宽，但交通却越来越拥挤。在这种情况下，司机选择行车路线就变成了一个复杂的少数人博弈问题。

实际的城市道路往往是复杂的网络。我们简化问题，假设在交通高峰期间，司机只面临两条路的选择。这个时候，往往要选择没有太多车的路线行走，此时他宁愿多开一段路程，而不愿意在塞车的地段焦急地等待。司机只能根据以往的经验，来判断哪条路更好走。当然，所有司机都不愿意在塞车的道路上行走。因此每一个司机的选择，必须考虑其他司机的选择。

在司机行车的“少数者博弈”问题中，司机经过多次的选择和学习，许多司机往往能找到规则性，这是以往成功和失败的经验教训给他的指引，但这不是必然有效的规则性。

在这个过程中，司机的经验和司机个人的性格起作用。有的司机因有更多的经验而更能躲开塞车的路段；有的司机经验不足，往往不能有效避开高峰路段；有的司机喜欢冒险，宁愿选择短距离的路线；而有的司机因为保守而宁愿选择有较少堵车的较远的路线，等等。最终，不同特点、不同经验司机的路线选择，决定了路线的拥挤程度。