九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中，都有关于九九歌的记载。最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。因为是从“九九八十一”开始，所以取名九九歌。大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”。大约在公元十三、十四世纪，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从“一一如一”起到“九九八十一”止。现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是45句的，通常称为“小九九”；还有一种是81句的，通常称为“大九九”。
关于九九歌，汉代燕人韩婴的《韩诗外传》中记载了这样一段故事：
春秋时期，齐桓公设立招贤馆征集各方面的人才，等了很久，一直没有人来应征。过了一年后才来了一个老百姓，他把九九歌献给齐桓公。齐桓公觉得很可笑，就说：“九九歌也能拿出来表示才学吗？”这个人回答说：“九九歌确实够不上什么才学，但是您如果对我这个只懂得九九歌的老百姓都能重礼相待的话，那么还怕比我高明的人才不会接连而来吗？”齐桓公觉得这话很有道理，就把他接进了招贤馆。果然不到一个月，四面八方的贤士都接踵而至了。
东欧有一条普雷格尔河，在离它入海口不远的地方，有一座古老的城市——哥尼斯堡。普雷格尔河的两条支流——旧河和新河在这里汇成一股，然后再奔向蓝色的波罗的海。河心的奈发夫小岛上，矗立着壮丽的哥尼斯堡大教堂。也就是说，整个哥尼斯堡被河水分隔成了4块。不过，交通还是挺方便的，因为在河上横跨着7座建筑风格各异的桥。
一天又一天，这7座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，一个有趣的问题在居民中传开了：一个旅游者在这里逍遥漫步时，能否经过所有这7座桥而每座桥都只经过一次？
这个饶有兴趣的题目，吸引了许多人。活泼好动的孩子，在桥上穿梭往来，不厌其烦地试验他们设想的每一条路线。脚力不济的老人，也在悠闲散步的同时，试验他们的方案。这问题甚至还打动了哥尼斯堡的大学生们，在课余，他们兴趣盎然地探讨各种方案。
可是，把全城人的智慧都加在一起，也没有找出一条合适的路线。哥尼斯堡的“七桥问题”竟成了一道著名的难题。
终于，有一天，在这难题前一筹莫展的哥尼斯堡的大学生们想到了一个人，他们决定写信去请教。就这样，这个难题摆到了彼得堡科学院的欧拉教授面前。
作为一个数学家，欧拉首先是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。七桥问题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题了。
欧拉的这个考虑非常重要，非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——首先把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。单是在这一点上，欧拉就显示出了他超群的数学才能。
接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。这类几何问题和传统的欧几里得几何学不同。它没有量的大小，只有物体间的相对位置和顺序问题。
你看，哥尼斯堡大学生的一封来信，竟导致欧拉开辟了数学中的一个新领域！
也许，我们在了解了这位伟大数学家的生平后，会对他的成就有更深的印象。
瑞士是欧拉的祖国，1707年，他出生在风景秀丽的巴塞尔城。他的父亲老欧拉是一位乡村牧师，也曾是一位数学爱好者。老欧拉希望小欧拉长大后也当牧师，就把他送进了巴塞尔神学校。可小欧拉对神学老师讲的几乎每一个问题都要穷根究底地问一个为什么，被学校认为是一个不够虔诚的学生。不久，他就被神学校开除了。
小欧拉很快就表现出了他的数学天赋。一天，老欧拉决定扩展家里的羊圈，多养点羊。可眼下缺少篱笆，老欧拉发愁了。小欧拉却不慌不忙劝慰起爸爸来：“篱笆是够的。你看，旧羊圈长70码，宽30码，面积2100平方码。如果改成50码见方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平方码。”说穿了，这个发现并不稀奇，可小孩子能敏捷地发现这一点，并不容易。所以，我们就很容易理解：巴塞尔大学竟然同意让13岁的欧拉进校读书。
欧拉在大学里对各门功课都不放松，尤其是数学课，他学习起来如鱼游春水，分外畅快。渐渐地，大学的数学课程满足不了欧拉的胃口了。他的提问往往使老师为难；他还纠正教师讲课中的疏漏。为此，他受到老师约翰·伯努利的赏识，对他进行了重点培养。
当欧拉出色地完成大学的学业，获得数学硕士学位时，仅17岁，这在巴塞尔大学的历史上还是头一个！约翰老师将这个“自己最得意的门生”留在了大学里，担任自己的助教。
1727年，欧拉在朋友的推荐下，被俄国女皇叶卡特琳娜一世聘请为圣彼得堡科学院的院士。在那里，他承担了俄国亟待解决的许多科研课题：测绘地形图、编制天文数据表、拟定度量衡的国家标准；为研制新兵器研究弹道学、为建造新式舰船创建流体力学理论。就连当时大学和中学的数学教科书，也由欧拉编纂。
1741年，俄国的伊丽莎白女皇登基，她藐视科学。欧拉感到在这种环境下无法继续正常的研究工作，于是，他接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，到柏林科学院物理数学所当所长，并为国王的侄女德韶公主讲授数学、天文、物理等课程。在柏林，他一耽就是25年，培养造就了许多数学英才。
1766年，年近花甲的欧拉在俄国女皇叶卡特琳娜二世的再三邀请下，重返阔别了25年的圣彼得堡。前前后后，他任彼得堡科学院的院士达31年之久，以至俄国人视他为本国的数学大师，并以他为自豪。
1783的9月18日下午，76岁的欧拉老人为了庆祝自己计算气球上升定律的成功，在寓所设宴款待一些同行。饭后，欧拉感到有点疲劳，点燃烟斗抽了两口。突然，烟斗从他手中落下，老人口中喃喃自语：“我死了……”
欧拉就这样离开了人世，离开了他热爱的数学事业。他留给后人丰富的科学遗产。从1909年起，瑞士自然科学会就开始筹备出版欧拉全集，计划出72卷，直到现在还没有全部出齐呐。
刘老师给大家出了一道题。前进小学8个班去帮助农民摘豆角，每个班摘豆角的重量分别是：55 千克、50千克、48千克、54千克、49千克、53千克、54千克、53千克。问平均每班摘豆角多少千克？“看谁算得快。”刘老师鼓励说。于丰很快举手回答：“平均每班摘52千克。”刘老师点头说：“你能把计算的方法说一说吗？”于丰说：“求平均数有个窍门，就是先在这些数中确定一个基准数。比如，这道题就是以50为基准数。然后把5个班分别比基准数多出的千克数加起来，并从中减去剩下那2个班比基准数少的千克数，所得的数除以8，商再加上基准数，就是所求平均数。”刘老师高兴地说；“很好，于丰的这种方法我们可以给一个名字叫做‘减少加多法’。做的时候可以这样：先选好基准数50，然后从前往后看，多的数前写上加，少的数前写上减，也就是：5＋0－2＋4－l＋3＋4＋3＝1616÷8＝250＋2＝52（千克）这就是平均每班摘的重量。”刘老师又说：“这样求平均数速度快，计算量小，是一种好方法。”
17世纪是机械和运动的数学具有影响力的时代．也是摆线的时代．当一个圆在一条直线上平稳地滚动时，圆上一个固定点所描出的曲线即为摆线．伽利略(Galileo，1564—1642)是一位对摆线感兴趣的杰出人物．他发现了(但没有证明)有关摆线的两个重要事实．他发现一个摆线弧的长度是旋转圆直径的4倍．他是通过用绳子度量并与旋转圆的直径比较后发现这一事实的．在研究摆线弧下方所围的面积时，他用一块薄板切下摆线所围的图形并称下重量，然后与同样薄板的旋转圆重量相比较，得出前者的面积是后者面积的3倍．他的实验被证明是精确的．遗憾的是，那时的数学还不能提供对这些发现的证明．
1×2×3×4×5×…×1990×1991的乘积末端有几个零？（中间的0不算）
从1一个不漏地乘到1991，这个数字实在太大了，不容易分析。因此，我们先从小处着手来解剖麻雀。先看1×2×3×4×5×6＝720，其末位只有一个0，从而可以看出，在质因数的乘积中，只有2×5的积才会出现一个零。
有人会说，4×25=100，不是出现两个零吗？对！但是4×25=22×52=（2×5）2，可见还是2×5在起作用！
好比生病一样，病原菌已找到，问题就很清楚。另外又容易看到，在一串连续数的乘积中，因子2远比因子5要多，所以主要矛盾取决于5的个数，犹如在一个社团中，男多女少，结成配偶的对数就取决于女方了。
于是我们开始清点1×2×…×1991中含有多少个5的因子，先考虑单个的5，由于1991÷5的商数为398，这个数字就算出来了。
继续清点该连乘积中含有52=25的因子，如法炮制，可立即算出这个数字为79。
再清点53=125及54＝625的因子个数，它们分别有15个和3个。由于能被动整除的数也可以被5整除，所以我们在清点时只计一次，不要重复。
于是我们可以马上判明在这个漫长的连乘积中，其尾巴上一共有
398+79+15+3＝495
个零。顺便讲一句，495这个数倒也有趣，它是一个”再生数”，因为我们把这三个数码经重排后得到的最大三位数与最小三位数相减，还是可以得到495，即954－459=495。
摘自《趣味数学辞典》
一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。它趴在井底哭了起来。一只癞（ lai） 蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟！哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳， 就更别提想吃天鹅肉了！”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里！”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大 叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去！请问这口井有多深？”“哈哈哈……，真是笑话！这井有１０米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去 呢？”“我不怕苦、不怕累，每天爬一段，总能爬出去！”第二天，蜗牛吃得饱饱的，喝足了水，就开始顺着井壁往上爬了。它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了５ 米。蜗牛特别高兴，心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。”想着想着，它不知不觉地睡着了。早上，蜗牛被一阵呼噜声吵醒了。一看原来是癞大叔还在 睡觉。它心里一惊：“我怎么离井底这么近？”原来，蜗牛睡着以后从井壁上滑下来４米。蜗牛叹了一口气，咬紧牙又开始往上爬。到了傍晚又往上爬了５米，可是 晚上蜗牛又滑下４米。爬呀爬，最后坚强地蜗牛终于爬上了井台。小朋友你能猜出来，蜗牛需要用几天时间就能爬上井台吗？
珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半———即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
几何三大问题是：
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出 20°的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
