有一只正三角形，它的每边边长是1个单位。现在要画一条直线或者曲线，把它分成两块，进化论什么形状都可以，只是两块面积必须完全相等，并且要求所作的线段或者曲线的长度为最短，你们会画吗？

当然，人人都会想到的就是从三角形的一个顶点向底边作一条垂线就可以把这个正三角形平分为两个面积完全相等的两个三角形了，但是这样所使用的那一条垂线不见得是最短的。如果照这种方法做，那么根据勾股定理可以得知：

AD=(1^2 - (1/2)^2)^(1/2) = (1 - 1/4)^(1/2) = (3^(1/2))/2 ≈ 0.866。

这里还有第二种解法：作一个直角三角形，使它的两条直角边长均为1个单位长，那么斜边长就是2^(1/2)，在下图的BC上截取一线段CF，其长为(2^(1/2))/2。过F作AC的平行线，交AB与D，过D作BC的平行线DE，则DE就是所求的线段。

很明显，这是△ADE，再根据几何定理‘两个相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比’，可得出比例式：

S△ADE/S△ABC = 1/2，
所以DE符合原题的要求，并且

DE = CF = (2^(1/2))/2 ≈ 0.707。

0.707肯定是要比0.866短得多，可是解法不错，却还不是最优解。

前面两种方法都是从直线段的角度来考虑问题，现在改从曲线方面来解。我们先通过旋转与对称的办法，把六个正三角形拼成一个正六边形，并以A为圆心，在正六边形内画一个圆，则曲线弧形成一条封闭曲线，见下图：

根据有名的定理：“在面积为一定的平面图形中，以圆的周长为最短。”这使我们联想到，所要求的曲线弧必定是圆周长的1/6，也就是上图中的弧DE。它的画法和具体数学的计算如下：

因为正三角形的面积等于 (3^(1/2))/4，所以正六边形的面积等于 ((3^(1/2))/4) x 6。

而其面积的一半就是 ((3^(1/2))/4) x3。

设所求圆的半径为R，则有：

π*R*R = ((3^(1/2))/4) x3 ≈ 0.643。

以R（0.643单位长）为半径，A为圆心，即可画出弧DE的近似解。弧DE的长是圆周长的1/6，即 弧DE= (2πR)/6 ≈ 0.673。

可见曲线弧的长度要比前两种直线段解法中的线段都短得多。

Tags：思考, 方法, 问题.
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