当代大数学家波利雅（Polya）有句名言：“你能一眼看到底吗？”一道难题解决以后，不应该偃旗息鼓不想再前进了。通过认真的分析总结，去芜存菁，咀嚼消化，往往会对原来的题目有更深一层的理解，有时甚至还会找到更好的解法。

古生物学家在找到一些头盖骨或者其他化石时，常常能够据以恢复原有的动物形象，例如恐龙等。

一个好的数学题目，往往蕴藏着拟题者的一片苦心。高明的解题者能够猜到拟题人的思路，提示其真实意图，在这里，题目起了一块化石的作用。下面举一个实例。原问题的提法如下：

如果：

(ac-bb)/(a-2b+0)=(bd-cc)/(b-2c+d)，

则这两个分式都等于

(ad-bc)/(a-b-c+d)。

通过繁复的计算是可以证明结果来的，但是问题的实质了解却是无所裨益。

现在请注意，ac-bb=0是a、b、c三数成等比数列的条件，而a-2b+c=0是 a、b、c三数成等差数列的条件。此外，还可以注意到分子上有ad，分母上对应有a+d；分子上有-bc，分母上对应着-(b+c)。对其它两个式子，这个性质也保持着，例如分子上有-bb，则分母上有-2b等等。

对这类问题，习惯上的解法是引入一个k，即可设

(ac-bb)/(a-2b+c)=k，

于是

(bd-cc)/(b-2c+d)=k，

然后再求证

(ad-bc)/(a-b-c+d)=k。

对上式，一位人工智能研究家找出了好几种解法，但没有一种方法能使他感到满意。后来他注意到第一式

(ac-bb)/(a-2b+c)=k

可以化成

ac-k(a+c)=bb-2bk，

式子的右边启发他要配方，这样一来他就得到

(a-k)(c-k)=(b-k)(b-k)。

这就意味着，原来第一式所表示的真实用意是：(a-k)、(b-k)、(c-k)成等比数列。

于是不难看出，只要换换字母，第二式告诉我们的是：(b-k)、(c-k)、(d-k)成等比数列，因而就有(a-k)、(b-k)、(c-k)、(d-k)成等比数列。

但是我们知道，任一个等比数列的连续四项中，第一项与第四项的乘积必等于第二项与第三项的乘积，故得：

(a-k)(d-k)=(b-k)(c-k)。

把这个式子展开，再去消kk，可得

(b+c-a-d)k=(bc-ad)，

所以

k=(ad-bc)/(a-b-c+d)。

于是解题者猜透了隐藏在出题者心底深处的想法，如果从四个数a、b、c、d中各减去一个常数k，那么，余下的数要成为等比数列，试问a、b、c、d、k应该满足什么条件？

我们得到的教益是：哪里有模式，哪里就有意图

Tags：代数, 思考, 方程, 问题.
No Responses' | Add Comments
本文网址：http://www.logmath.com/article/2007/11/caitou-out-that-the-real-intention.html