在密朗弗洛斯总统统治的国家安丘林中，新总统的选期临近了，国内有两千万个选民，其中只有占人口百分之一的正规军支持原总统，密朗弗洛斯想继续当总统，但另一方面，他也想使选举成为“民主的”，密朗弗洛斯这样来安排“民主选举”：选把全体选民分成人数相同的大组；其中的每一个大组又再分为若干个人数相同的组，但从不同的大组可以分出不同数量的较小的组；然后这些组继续被分划，如此等等，在最终所分成的那些组内选出小组代表——参加较大组选举的复选人，复选人在这个较大组中选举参加更大一组选举的复选人，如此等等，最后同，最大组的代表真选总统。密朗弗洛斯按自己的意愿将选举人分组，并指示他的拥护者们该如何参与选举。试问，他能通过这样的操纵来使自己当选吗？（在每一个组中，选举人按简单多数选出代表，而在舆论方面，反对派占优势。）
答案是能够的，事实上，总统的支持者共有200000人，假若最小的组由5个人组成，为了使总统能取胜，在一些小组中他的支持者该有3名。这样一来，200000个支持者（如果正解的分派他们）可在产生出的总数为4百万人的第一阶段复选人中占66666个，若再将这4百万人每4人分成一组，同为了在小组中占有多数就必须有3票，于是密朗弗洛斯可在产生的总数为1百万的第二阶段复选人中占有22222个支持者。按着划分小组可按5人一组，也可以按4 人一组（次序无关紧要），他可获得200000票中的7407票，50000票中的2469票，10000票中的823票，2000票中的274票， 500票中的91票，100票中的30票，25票中的10票，4票中的3票，从而保证自己当选。
现在也也请你再想一下，如果他的拥护者恰为164025（3^8 x 5^2）个 ，那么能否取胜？
Written on 29 11月 2007
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尼基托夫城的道路均可双向行车，现决定在两年内全部翻修道路，为此在第一年中，有些道路线成为单行线；到了第二年，这些道路恢复双向行车，其余的道路则限制为单向行车线。现知，在翻修过程中任何时刻，都能从城市中的任何一个地点驱车前往另外任何地点。证明，可将基托夫城中的道路全部改为单行线，使得仍可由城中任一地点驱车前往另外任何地点。
证：首先将第一年修路时作为单行线的道路及其指定的单向行车方向确定下来；将这些道路染为红色，并标上原来的箭头。
我们再来分两个阶段解答问题。在第一阶段中，我们来增加红色道路的数目，并为它们标上箭头，使得在增加了它们以后，题目中的条件仍可满足，真到达到了如下程度时，我们就停止增加新的红色道路：即对任意两个用由A指向B的红色箭头直接连接的路口A和B，又都存在仅仅沿着红色箭头头即可由B到A的路径（即存在由红色箭头构成的环路）。在第二阶段中，我们来给出满足题目条件的道路走向，从而最终完成证明过程。具体作法如下：
第一阶段：设路口A和B已用红色箭头A→B连接，但由B至A却没有用红色道路。即在任何由B通向A的路径上，并不都具有红色箭头，亦即存在“空”路段。我们来任意取出一条由B至A的路段。在这条路径所包含的所有红色路段上，所标示的方向显然都与箭头A→B一致（因为由B至A有这条路径作为通道）；我们只要照此（即与箭头A→B一致的方向）将“空路段”标定方向并染为红色，就可使得由B能沿着红色箭头走到A了。由于城市道路的数量是有限的。所以在若干步以后，我们就得到了许多由红箭头构成的环路，亦即许多由红色环路围成的“小岛”。
第二阶段：我们再将未包含在红色环路中的路段都染上绿色；在这些路段上目前都还存在着两个方向。但由于它们都是第二年修路时的单行线，于是我们可为每一段绿色道路都标上一个箭头，使之与第二年修路时所标的方向一样，这样一来，全城的道路都已标定了行车方向。
下面就来证明，按着所引入的方向，都可以沿着道路由任意一个路口A到达任一另外一个路口B。事实上，如果取这样一条由A至B的路段，使它恰是第二年修路时所走过的，那么现在在它上面就可能会有红色箭头也有绿色箭头。沿着绿色箭头，我们总是去往应去的方向，但沿着红色箭头却未必总是如此。例如，在我们所取的路径A…XY…B中的路段XY上，所标的红色箭头是由Y指向X的（即不能沿着路段XY通行），那么我们就可以沿着那样一条补上箭头Y→X后就成为第一阶段所构造的的红色环路的路径由X走到Y，由此所得到的由A至B的路径即为所求。
当代大数学家波利雅（Polya）有句名言：“你能一眼看到底吗？”一道难题解决以后，不应该偃旗息鼓不想再前进了。通过认真的分析总结，去芜存菁，咀嚼消化，往往会对原来的题目有更深一层的理解，有时甚至还会找到更好的解法。
古生物学家在找到一些头盖骨或者其他化石时，常常能够据以恢复原有的动物形象，例如恐龙等。
一个好的数学题目，往往蕴藏着拟题者的一片苦心。高明的解题者能够猜到拟题人的思路，提示其真实意图，在这里，题目起了一块化石的作用。下面举一个实例。原问题的提法如下：
如果：
(ac-bb)/(a-2b+0)=(bd-cc)/(b-2c+d)，
则这两个分式都等于
(ad-bc)/(a-b-c+d)。
通过繁复的计算是可以证明结果来的，但是问题的实质了解却是无所裨益。
现在请注意，ac-bb=0是a、b、c三数成等比数列的条件，而a-2b+c=0是 a、b、c三数成等差数列的条件。此外，还可以注意到分子上有ad，分母上对应有a+d；分子上有-bc，分母上对应着-(b+c)。对其它两个式子，这个性质也保持着，例如分子上有-bb，则分母上有-2b等等。
对这类问题，习惯上的解法是引入一个k，即可设
(ac-bb)/(a-2b+c)=k，
于是
(bd-cc)/(b-2c+d)=k，
然后再求证
(ad-bc)/(a-b-c+d)=k。
对上式，一位人工智能研究家找出了好几种解法，但没有一种方法能使他感到满意。后来他注意到第一式
(ac-bb)/(a-2b+c)=k
可以化成
ac-k(a+c)=bb-2bk，
式子的右边启发他要配方，这样一来他就得到
(a-k)(c-k)=(b-k)(b-k)。
这就意味着，原来第一式所表示的真实用意是：(a-k)、(b-k)、(c-k)成等比数列。
于是不难看出，只要换换字母，第二式告诉我们的是：(b-k)、(c-k)、(d-k)成等比数列，因而就有(a-k)、(b-k)、(c-k)、(d-k)成等比数列。
但是我们知道，任一个等比数列的连续四项中，第一项与第四项的乘积必等于第二项与第三项的乘积，故得：
(a-k)(d-k)=(b-k)(c-k)。
把这个式子展开，再去消kk，可得
(b+c-a-d)k=(bc-ad)，
所以
k=(ad-bc)/(a-b-c+d)。
于是解题者猜透了隐藏在出题者心底深处的想法，如果从四个数a、b、c、d中各减去一个常数k，那么，余下的数要成为等比数列，试问a、b、c、d、k应该满足什么条件？
我们得到的教益是：哪里有模式，哪里就有意图
看过《红楼梦》的人，都知道赵姨娘暗算贾宝玉与王凤姐的事。在“旧时真本” 《红楼梦》中，写到这事后来终于败露，赵姨娘因此发疯而死，写法与今本不同。有一天宝玉等人去赏花，宝玉钗取了一副骨牌来，在其中随便取出六张牌，各贴上一张小纸，每张牌上写了一个字，拼起来看，是“作法急病现报”，随后就将牌的背面朝天，加以揉乱。最后，她把牌排成一个圆环，别过身去，对湘云说道：“你随便在心中认定一张牌，看一看它写的是什么字，随后将牌照老样子放好，等一会你按照这个字的笔画来报数，我就可以知道你心中想的是哪一个。”湘云照她的吩咐做了，宝钗回过身来，湘云报着：“一，二，三，……”，宝钗拿起一朱笔，湘云每报一下，她便在某张牌上点一下；看上去，她的点法完全是乱七八糟、毫无规律的，直到湘云把数据报完，她的笔停在某一张牌的背面。大家把这张牌翻过来一看，哈哈，正是湘云暗中认定的那一张。当下众姐妹看了，有点不相信。各人便都来尝试一下，但是屡试屡验，都惊奇得说不出话来。
其实这六个字的笔画是依次算术级数的：作——七画；法——八画；急——九画；病——十画；现——十一画；报——十二画（繁体安的“报”是十二画）。宝钗表面上将它们揉乱，实际上是将它们按照反时针方向排成圆环，当湘云报数时，她开始六下是完全任意的，不过是故弄玄虚，存心迷惑别人而已。从第七下开始，她便循着圆环的反时针方向来进行，这样，她就能够毫无困难地猜出来。
这游戏有许多变种，只要根据“报数原理”，当然不限定使用六个字；也不一定要用骨牌，扑克牌或其它东西都可以代替；也不限定要排成圆环，例如上述六个字的背后，若分别涂上各种颜色，则可以默记颜色的次序来用朱笔扣点。六个字的笔画也不限定非要用连续数不可。凡此种种，只要心领神会，都可予以灵活变通。
小A试图潜入山洞，在山洞入口处立着一面鼓，鼓的侧面有四个孔，在四个孔的里面靠近孔口处各装有一个开关，开关有”上””下”两种状态，如果四个开关的状态全部一致，洞门即可打开，允许将手伸入任意两个孔，触摸开关以了解状态，并可随自己的意思改变或者不改变其状态，但每当这样做了之后，鼓就要飞快的旋转，以至在停转之后无法确认刚才触动了哪些开关。现允许重复使用这种方法10次。证明，小B是可以进入山洞。
解：容易把不少于3个开关板为状态”上”（首先把一对相邻的开关板为”上”，然后再将对角线上的一对板为”上”）。如果进出山洞的大门没有开，这就意味着味四开关处于状态”下”，这时间小A应该把手伸入对角线上的两个洞。如果碰到向下开关，就当把它扳向上方；如果这一对开关均向上，则把其中之一扳为向下，这样，显然两个相邻的开关为向上，另两个相邻的开关为向下。然后小A沿着正文形边伸手；如果两个开关处于同一状态，他就扳动它们从而进入山洞；如果两个开关状态不同，他也应扳动它们，关在最后一次时，沿对角线找到开关，再伸入手将它们都扳动。
Written on 17 11月 2007
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小A有一套名为“镶木地板青年工人”的玩具，它由一些小薄木块组成，放在一个矩形的盒子里，铺开成一层，刚好盖满盒底的全部面积，每一块小薄木块的面积都是3平方厘米，其形状或为矩形，或为角状（如下图所示）。
小A声称他丢了一块角状木块，并做了一块矩形木块来代替它，用其余木块连同这块新的，他仍然可在盒子里铺开成一层。试问：能否确认小A是在说谎？
要解决这个问题，我们只要动手在纸上画画应该就可以知道是不能确认小A在说谎的。可以看下图，我给出了最简单的例子。构造此类例子的基本想法是：角状块的数目应该为奇数块，在丢掉了一块之后，其余的即可两两配对各放在一个2×3的矩形中即可。
Written on 13 11月 2007
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圆周率π的近似值是3.1415926……我国古代数学家刘微、祖冲之等在计算圆周率这个问题上有过卓越贡献。要计算圆周率，方法很多，现在来介绍一个完全用不到计算的实验方法。
预备一些粗细均匀的小针，每枚约长2厘米。另外在一张白纸上画出许多平等线，各线间的距离是小针长度的两位。准备好以后，就把小针一支一支地从高处投在纸上，并不断计录小针和任意一条平行线相交的次数。如果投掷的总次数非常之多，那么用投掷总次数除以小针碰线的次数，就得到π的近似值。这是什么道理呢？
首先，我们假定小针与直线最可能相交的次数是k。小针和直线相交时，这个交点一定是在这2厘米长中的一处，任意1毫米都不会比别的更有优越的机会。因此如果针上某段长1毫米，则这一段可能相交的次数是k/20；如果是7毫米，则这一段可能相交的次数便是7k/20。总而言之，最可能相交的次数是与针的长度成正比的。
即使把小针弄成弯曲的形状，这个比值也仍然是对的。譬如说，把针弯折成线头的两段，一段是7毫米，另一段是13毫米，那么，这两面可能相交的次数分别为7k/20与13k/20，加起来仍然为k。我们还可以把针弯曲得更厉害一些，可能相交的次数也不会因此而发生改变。不过投掷弯曲了的小针时，它可能同时在几个地方和直线相交，那是，必须把每一个交点数都计算在内。
我们知道，当正多边形的边数为无限增大时，它的极限是圆。所以“圆”这种图形可以代表弯曲得最厉害的小针。现在假定圆形小针的直径恰好与纸上两条相邻的平行线间的距离相等，那么这个圆形小针投掷下来时，不是和一条直线相交两次，就是和两条直线平行相切。不管怎么样，它的相交次数是2。因此，当投掷的次数为n时，碰线的次数便是2n。
现在小针的长度只有两条相邻平行线间距离的一半，所以针的长度只有上述圆形小针长度（即圆周长）的1/2π。但是可能碰线的次数是与针的长度成正比的，因此小针的可能碰线的次数k就必须满足下面的比例式：
1:(1/2π) = 2n:k，
于是就得到
π=n/k，
也就是
π=投掷总次数/碰线次数。
这就是上面“投针实验”的理论根据。它又叫蒲丰氏实验，在概率论中很出名的，也可以说是近代的“统计试验法”（又叫蒙特卡罗方法“）的滥觞。
据记载，19世纪中叶，瑞士数学工作者服尔夫曾经实地予以试验，他一共投掷了5000次，结果得到π的近似值为3.1596，其它很多学者也做过类似的实验。
在下列空白处填入0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，要求每个数字必使用一次，一个括弧里只能填写一个数字：
(__)×(__)×(__)+(__)×(__)×(__)+(__)=(__)(__)(__)。
不知道有没有谁愿意去做这个题目，不过我想我是肯定不会去做这个题目的，因为要我做的话只有一个方法就是把所有数字一个一个代进去算，总共有1×2×3×4×5×6×7×8×9=362880种，谁是疯子自己去算去，我是在网上找了半天找到了答案：
0×1×2+6×7×8+9=345，0×1×2+6×8×9+5=437
0×1×3+4×7×9+6=258，0×1×5+6×7×9+4=382
0×2×3+4×6×8+5=197，0×2×7+3×6×8+5=149
0×2×7+4×6×8+3=195，0×2×9+6×7×8+5=341
0×4×8+5×7×9+6=321，0×5×6+2×7×9+8=134
0×5×6+2×8×9+3=147，0×6×8+3×5×9+7=142
0×6×8+4×7×9+1=253，1×2×9+5×7×8+6=304
1×2×9+6×7×8+0=354，1×4×6+7×8×9+2=530
1×4×7+3×8×9+6=250，1×5×9+4×6×8+0=237
1×6×7+4×5×9+8=230，1×7×8+4×5×9+0=236
2×3×5+4×6×7+0=198，2×4×8+3×5×7+0=169
2×4×9+3×5×6+8=170，2×5×9+3×4×6+8=170
2×5×9+3×4×7+6=180，2×7×9+3×4×5+0=186
作者是使用编程做出来的，当然我还是不怎么行，设置10个变量，每个变量轮换取值（当然要各不相同），按照算式格式计算，满足条件即是一个解，多个解要注意筛选重复解答，比如： 0*1*2+6*7*8+9=345和1*0*2+6*7*8+9=345不能重复出现。
Written on 05 11月 2007
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