17世纪是机械和运动的数学具有影响力的时代．也是摆线的时代．当一个圆在一条直线上平稳地滚动时，圆上一个固定点所描出的曲线即为摆线．伽利略(Galileo，1564—1642)是一位对摆线感兴趣的杰出人物．他发现了(但没有证明)有关摆线的两个重要事实．他发现一个摆线弧的长度是旋转圆直径的4倍．他是通过用绳子度量并与旋转圆的直径比较后发现这一事实的．在研究摆线弧下方所围的面积时，他用一块薄板切下摆线所围的图形并称下重量，然后与同样薄板的旋转圆重量相比较，得出前者的面积是后者面积的3倍．他的实验被证明是精确的．遗憾的是，那时的数学还不能提供对这些发现的证明．
Continue Reading »1×2×3×4×5×…×1990×1991的乘积末端有几个零？（中间的0不算）
从1一个不漏地乘到1991，这个数字实在太大了，不容易分析。因此，我们先从小处着手来解剖麻雀。先看1×2×3×4×5×6＝720，其末位只有一个0，从而可以看出，在质因数的乘积中，只有2×5的积才会出现一个零。
Continue Reading »一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。它趴在井底哭了起来。一只癞（ lai）蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟！哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了！”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里！”
Continue Reading »珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
Continue Reading »平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
Continue Reading »alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破 alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1)
Continue Reading »数学的逻辑有时会导致看来十分怪异的结论。一般的规则是，如果逻辑推理没有漏洞，那么结论就必定站得住脚，即使它与你的直觉矛盾。1998年9月，加利福尼亚州帕洛阿尔托的Stephen M. Omohundro寄给我一道难题，它恰好就属于这一类。这难题已经流传了至少十年，但是Omohundro对它作了改动，使它的逻辑问题变得分外复杂了。
Continue Reading »有些年轻的朋友问我：中国进入21世纪，她的数学会是怎么样？从事数学研究的人，时常喜欢预测一些命题可能的结果，我们往往有许多猜想，可能正确也可能错误。如果猜想被证明是正确无误，我们往往兴高采烈；如果被指出是错误，我们也不灰心，再提出一些猜测。
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